Сведение матричной игры к модели линейного программирования

 

В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программиро­вания. И, наоборот, задача линейного программирования мо­жет быть сведена к матричной игре.

Если задача линейного программирования имеет вид

 

 

при ограничениях:

 

то матричная игра определяется платежной матрицей размера (т + п + 1) вида

 

 

где А — матрица коэффициентов при неизвестных системы ограничений задачи линейного программирования; В — мат­рица свободных членов; С — матрица коэффициентов при не­известных целевой функции; А^t, B^t, C^t — транспонированные матрицы А, B, С.

Если задача линейного программирования имеет вид

 

 

при ограничениях:

 

 

то матричная игра определяется платежной матрицей размера (т + п + 1) вида

 

Пример 4. Построить матричную игру, заданную задачей ли­нейного программирования

 

 

при ограничениях:

 

 

Решение. Обозначим:

 

 

Транспонированные матрицы:

 

 

Ответ. Игру, определяемую данной задачей линейного программирования, можно записать матрицей

 

31.5. Игры с "природой"

 

В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направле­ны на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Одна­ко в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется не­определенность, вызванная отсутствием информации об усло­виях, в которых осуществляется действие (погода, покупатель­ский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

 

 

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

1. Критерий Вальде. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия

 

 

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является песси­мистическим, считается, что природа будет действовать наи­худшим для человека образом.

2. Критерий максимума. Он выбирается из условия

 

 

Критерий является оптимистическим, считается, что при­рода будет наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

 

 

где α — степень оптимизма — изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной по­зиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наи­лучшего для человека поведения природы. При α = 1 критерий превращается в критерий Вальде, при α = 0 — в критерий максимума. На α оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застрахо­ваться, тем а ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе та­кой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элемент матрицы рисков (r_ij) находится по формуле

 

 

где maxа_ij — максимальный элемент в столбце исходной мат­рицы.

Оптимальная стратегия находится из выражения