Понятие дифференциала функции

Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x₀ называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке:

 

Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (4.3) принимает вид

 

 

Из равенства (4.4) производную f'(x) в любой точке х мож­но вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx:

 

 

Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 4.3). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x₀, точка N — зна­чению аргумента x₀ + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее при­ращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получа­ем, что АВ = Δx tg φ = f'(x₀) Δx = dy, т.е. это главная по по­рядку величины Δx и линейная относительно нее часть прира­щения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

 

 

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

 

Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функ­ции в точке на ее дифференциал:

 

 

Абсолютная погрешность от такой замены является, как сле­дует из рис. 4.3, при Δx 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (4.4) и выражение для Δу, получаем

 

 

Формула (4.6) является основной в приближенных вычисле­ниях.

Пример. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x^0,5 в окрестности точки x₀ = 1. Поскольку, как будет показано далее, производ­ная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = ,то,принимая Δx = 0,07, получаем из формулы (4.6)