Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:
Выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произвольную точку ξi:
Теперь образуем сумму произведений:
которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п).
Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:
Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:
Определенный интеграл обозначается символом
Если определенный интеграл (7.2) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.
Величина определенного интеграла, согласно данному выше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.