Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи.

По определению полагаем

 

 

как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

 

 

поскольку при движении от b к а все длины частичных отрез­ков Δx_i = x_i-1 — x_i имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).

2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

 

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак опреде­ленного интеграла:

 

 

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функ­ций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

 

 

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что а < b.

5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то

 

 

6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то

 

 

7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то

 

 

8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то