ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.
Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид
где С — произвольная постоянная.
Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой
где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем
Тогда из (7.9) имеем
Полагая х = b, получаем формулу
Равенство (7.10) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.
Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x), т.е.
Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной согласно (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов.