Объем тела вращения

 

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

 

 

 

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объ­ема тела вращения:

 

 

где [c, d] — область изменения функции у = f(x).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образован­ных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. у= х², у = вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объ­емов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у = и у = х². Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. По формуле (7.15) получаем

 

Пример 4. у = e^х, х = 0, х = 1, у = 0 вокруг оси Оу.

 

 

Ррешение. Выражаем х через у: х = ln у; промежуток ин­тегрирования [1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответствен­но цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = ln у. Согласно формуле (7.15) получаем