Неполные уравнения

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

 

 

нетрудно убедиться, что его решением является функция

 

 

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид

 

 

Дифференциальное уравнение такого вида называется авто­номным. Такие уравнения часто употребимы в практике мате­матического моделирования и исследования природных и физи­ческих процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описываю­щие законы природы. В этом случае особый интерес представ­ляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения не­известной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

 

 

В общей теории дифференциальных уравнений развита те­ория качественного анализа, основанная на исследовании ха­рактера стационарных точек.