Рассмотрим систему векторов
Максимально независимой подсистемой этой системы векторов называется частичный набор векторов системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы, б) любой вектор системы линейно выражается через векторы этого набора.
Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько базисов.
Понятие базиса распространяется и на пространство Rn, которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность n-мерных векторов.
Определение 3. Система n векторов называется базисом пространства Rn,если:
1) векторы этой системы линейно независимы;
2) всякий вектор из Rn линейно выражается через векторы данной системы.