Некоторые формулы комбинаторики

 

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех воз­можных перестановок определяется произведением чисел от единицы до п:

 

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе ?

Решение. Искомое число равно Р₄ = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Комбинации по т элементов, составленные из п различных элементов (m ≤ п), отличающиеся друг от друга либо эле­ментами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений

 

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля ?

Решение. Искомое количество цифр

 

 

Комбинации, содержащие по т элементов каждая, состав­ленные из п различных элементов (m ≤ п) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

 

 

Можно показать, что справедливы формулы

 

 

В частности, первую из формул удобно использовать в расче­тах, когда т > п/2.

Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (17.1):

 

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать а) по три карты, б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

Решение. Искомое число способов: