Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости
Введение.
Теория вероятности, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Ее элементы были знакомы еще первобытным людям: шансы убить зверя у двух охотников, конечно, больше, чем у одного.
Возникновение «математики случайного» относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости.
Пример одной из ситуаций: два игрока договорились играть в кости до тех пор, пока одному не удастся выиграть три партии; игра была прервана, когда первый игрок выиграл две партии, а второй – одну; как справедливо разделить ставку? 3:1 – как показали французские математики Б. Паскаль(1623-1662) и П. Ферма(1601-1665).
Становление т.в. как математической науки связано с именем Я. Бернулли(1654-1705), который ввел классическое определение события и доказал простейший случай закона больших чисел.
В конце 19 – в начале 20 века благодаря усилиям П.Л. Чебышева (1821-1894), А.А.Маркова(1856-1922), А.М.Ляпунова (1894-1959) созданы методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произвольно распределенных случайных величин.
Т.В. получила строгое формально- логическое основание на базе теории множеств. Следует особо отметить академика А.Н.Колмогорова, установившего аксиоматику т.в.. Огромное развитие получили «отпочковавшиеся» от т.в. такие отрасли науки, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации и др.
Современная теория вероятности – строго обоснованная математическая наука. Она широко использует достижения других математических наук; имеет, в свою очередь, многочисленные приложения в естественных и гуманитарных науках.
Предмет теории вероятности
При этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности,… Однако есть множество задач, для решения которых приходится учитывать и… Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом…Случайные события, их классификация.
Сначала определим понятие «случайное событие» исходя из его интуитивного, наглядного понимания. Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого предсказать заранее нельзя. Такие эксперименты в теории вероятностей называю случайными. При этом рассматриваются только такие эксперимента которые можно повторять, хотя бы теоретически, при неизменном комплексе условий произвольное число раз.
Случайным событием (или просто: событием) называется любе исход опыта, который может произойти или не произойти.
События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... .
Пример 1.1.Опыт: бросание игральной кости; событие А — выпадение 5 очков, событие В — выпадение четного числа очков, событие С — выпадение 7 очков, событие D — выпадение целого числа очков, событие Е — выпадение не менее 3-х очков, ....
Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются через w. Элементарные события (их называют также «элементами», «точками», «случаями») рассматриваются как неразложимые и взаимоисключающие исходы w ,w ,w этого опыта.
Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или пространством исходов, обозначается через Ώ.
Рассмотрим пример 1.1. Здесь 6 элементарных событий w ,w ,w,w ,w ,w . Событие wi означает, что в результате бросания кости выпало i очков, i=1,2,3,4,5,6. Пространство элементарных событий таково: Ώ={w ,w ,w ,w ,w ,w } или Ώ = {1,2,3,4,5,6}.
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит
в результате данного опыта, обозначается через Ώ.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта, обозначается через Ǿ.
В примере 1.1 события А и В — случайные, событие С — невозможное, событие D — достоверное.
Два события называются несовместными, если появление одного
из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т. е. не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.
Так, в примере 1.1 события А и В — несовместные, А и Е — совместные.
События А1, А2, …, Ап называются попарно-несовместными, если
любые два из них несовместны.
Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.
В примере 1.1 события w –w образуют полную группу, w -w — нет.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные «шансы».
В примере 1.1 элементарные события w ,w , w , w , w ,w равно возможны. Выпадение герба (А) или решки (В) при бросании монеты равновозможные события, если, конечно, монета имеет симметрии форму, не погнута, .....
Действия над событиями
Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе). Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в совместном… Разностью событий А и В называется событие С = А — В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А,…Статистическое определение вероятности
Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (говорят: «проводятся повторные испытания»), в котором наблюдается некоторое событие А. … Статистической вероятностью события А называется число, около которого… Вероятность события А обозначается (символом Р(А). Согласно данному определениюКлассическое определение вероятности
Существует простой способ определения вероятности события, основанный на равновозможности любого из конечного числа исходов опыта. Пусть проводится опыт с п исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями, опыт — классическим. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев или схеме урн (ибо вероятностную задачу для такого опыта можно заменить эквивалентной ей задачей с урнами, содержащими шары разных цветов).
Случай w, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или — благоприятствующим) ему, т. е. случай w влечет событие A: w Í А.
Вероятностью события А называется отношение числа т случаев благоприятствующих этому событию, к общему числу п случаев, т. е.
Р(А) =
, (1.3)
Наряду с обозначением Р{А) для вероятности события А используете обозначение р, т. е. р = Р{А).
Из классического определения вероятности (1.3) вытекают следующие свойства:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.
0 £ Р(А) £ 1.
2. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.
Р(Æ) =0.
3. Вероятность достоверного события равна единице, т. е.
Р(Ώ) = 1.
4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А В = Æ, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Они проверяются так же, как и для относительной частоты . В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом .
Пример 1.6. В урне (емкости) находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?
Пусть А — событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что п = 12 + 8 = 20 — число всех равновозможных случаев (исходов опыта). Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 12, т.е. т = 12. Следовательно, по формуле (1.3) имеем: Р(А) =
, т.е. Р{А)= 0,6.
Элементы комбинаторики
Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным… Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных… Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать…Схема выбора без возвращений
Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.
Размещением из п элементов по т элементов (0 < т £ п) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее т элементов.
Из определения вытекает, что размещения — это выборки (комбинации), состоящие из т элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по т элементов обозначается символом 
(«А из эн по эм») и вычисляется по формуле
= п(п-1)(п-2)... (п-т + 1) (1.4)
или
= 
, где п! = l×2×3×..×n 1! = 1, 0! = 1. (1.5)
Для составления размещения надо выбрать т элементов из множества с n элементами и упорядочить их, т. е. заполнить т мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать n способами, т. е. на первое место можно поместить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся n — 1 элементов п — 1 способами. Для выбора третьего элемента имеется n — 2 способа, четвертого — n — 3 способа, и, наконец, для последнего m-го элемента — (n — (т — 1)) способов. Таким образом, по правилу умножения, существует п(п — 1) (n — 2)... (п — (т — 1)) способов выбора т элементов из данных п элементов, т. е. = п(п — 1)(п — 2)... (п — т + 1). ■
Пример 1.9.Составить различные размещения по 2 из элементов множества D = {а,b,с}; подсчитать их число.
Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b). Согласно формуле (1.4) их число: 
= 3 • 2 = 6.
Перестановкойиз n элементов называется размещение из n элементов по п элементов.
Из определения вытекает, что перестановки — это выборки (комбинации), состоящие из п элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп («пэ из эн») и вычисляется по формуле
Рп = п!. (1.6)
Формула (1.6) следует из определения перестановки:
Пример 1.10.Составить различные перестановки из элементов множества Е = {2,7,8}; подсчитать их число.
Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (1.6) имеем: 
= 3! = 1 • 2 • 3 = 6.
Сочетанием из п элементов по m (0 £ m £ п) элементов называется любое подмножество, которое содержит т элементов данного множества.
Из определения вытекает, что сочетания — это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из т элементов, взятых из данных п элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличаются только составом элементов.
Число сочетаний из п элементов по т элементов обозначается символом 
(«цэ из эн по эм») и вычисляется по формуле
(1.7)
или
(1.8)
Число размещений из п элементов по т элементов можно найти следующим образом: выбрать т элементов из множества, содержащего п элементов (это можно сделать способами): затем в каждом из полученных сочетаний (подмножеств) сделать все перестановки для упорядочения подмножеств (это можно сделать Рт способами). Следовательно, согласно правилу умножения, можно записать:
×Рт. Отсюда =
или
Можно показать, что имеют место формулы:
(m£n) (1.9)
(1.10)
(1 £ m £ n) (1.11)
Формулу (1.9) удобно использовать при вычислении сочетаний, когда
m>
. Так, 
= 105. Формула (1.10) выражает число
всех подмножеств множества из п элементов (оно равно 
).
Пример 1.12.Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D = {а, b, с}; подсчитать их число.
Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по 2 элемента: (а, b); (а,с); (b, с). Их число: 
= 3 (формула (1.7)
Схема выбора с возвращением
Если при выборке т элементов из п элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.
Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из п элементов по т с повторениями обозначается символом 
и вычисляется по формуле
(1. 12)
Пример 1.14.Из 3 элементов а, b, с составить все размещения по два элемента с повторениями.
По формуле (1.12) число размещений по два с повторениями равно 
= 9. Это: (а,а), (а,b), (а,с), (b,b), (b,а), (b,с), (с,с), (с,а), (с, b).
Если при выборке т элементов из п элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.
Число всех сочетаний из п элементов по т с повторениями обозначается символом 
и вычисляется по формуле
(1.13)
Пример 1.16. Из трех элементов а, b, с составить все сочетания по два элемента с повторениями.
По формуле (1.13) число сочетаний по два с повторениями равно 
=6. Составляем эти сочетания с повторениями: (а,а), (а,b), (а, с), (b, b), (b,с), (с, с).
Пусть в множестве с п элементами есть к различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент — п2 раз ..., k -й элемент — пк раз, причем n1 + п2 + … + пк = n.
Перестановки из п элементов данного множества называют перестановками с повторениями из п элементов.
Число перестановок с повторениями из п элементов обозначается символом Рп(n1 , п2 , … пк ) и вычисляется по формуле
(1.14)
Пример 1.18.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?
Применим формулу (1.14). Здесь п = 5, n1 = 2, п2 = 2, n3 =1. Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры3, 5 и 8, равно Р5(2,2,1) = 
=30.
Геометрическое определение вероятности
В области Ώ случайно выбирается точка X. Этот выбор можно… `Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области D к площади области Ώ, т. е.Аксиоматическое определение вероятности
Пусть Ώ — множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), S — алгебра событий. Напомним (см. п. 1.4), что совокупность S… 1. S содержит невозможное и достоверное события. 2.Если события А1, A2, А3, ... (конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и…Свойства вероятностей
С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(Æ) =0. Так как А + Æ = А и А×Æ= Æ, то согласно аксиоме A3 имеем Р(А) + Р(Æ) = Р(А),…Конечное вероятностное пространство
Каждому элементарному событию wi Î Ώ, i = 1,2,... ,п поставим соответствие число p(wi), которое назовем «вероятностью элементарного… 1) условие неотрицательности: p(wi) ≥ 0 для любого wiÎ Ώ; 2) условие нормированности = 1.Условные вероятности
Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности… Таким образом, по определению Р(В|А)= P(A)≠0 (1.20)Вероятность произведения событий.
Независимость событий
Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22) т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности… Равенство (1.22) называют правилом или теоремой (для схемы случаев оно доказывается) умножения вероятностей. Это…Вероятность суммы событий
Теорема 1.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения, Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). (1.28) Представим события А + В и В в виде суммы двух несовместных событий: А+В = А+В, В = АВ + В(см. п. 1.3, пример 1.2 и…Формула полной вероятности
Теорема 1.2.Пусть события H1, H2, ..., Нn образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней… P(A) = (1.30) Так как H1+ H2+ ...+ Нn =Ώ, то в силу свойств операций над событиями (п. 1.3), А = А ×Ώ, = А ×…Формула Байеса (теорема гипотез)
Теорема 1.3. Пусть события H1, H2, ..., Нn образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Нк (к = 1,..,n) при условии. что… Р(Нк÷А) = (1.31) где Р(А) = P(A1) • P(A|H1) + ... + Р(Нn) × Р(А|Нn) — формула полной вероятности. Формула (1.31) называется…Независимые испытания. Схема Бернулли
С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний (опытов)».
Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности).
Другими словами, если проводится несколько испытаний, т. е. опыт выполняется при данном комплексе условий многократно (такое явление называется «последовательностью испытаний»), причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Примерами независимых испытаний могут служить: несколько (n раз) подбрасываний монеты; стрельба (n раз) по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле: несколько (n раз) выниманий из урны одинаковых на ощупь занумерованных шаров, если шары каждый раз (после просмотра) возвращаются назад в урну, и т. д.
При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.
Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называют успехом) вероятностью Р(А) = р или противоположное ему событие 
(его называют неудачей) с вероятностью Р() = q = 1 — р, называется схемой Бернулли.
Например, при стрельбе по мишени: событие А — попадание (успех), событие — промах (неудача); при обследовании п изделий на предмет годности: событие А — деталь годная (успех), событие - деталь бракованная (неудача) и т. д.
Формула Бернулли
определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n). Обозначается искомая вероятность так:… Например, при бросании игральной кости 3 раза Р3(2) означает вероятность того,… Р3(2) = p2q + p2q + p2q = = [{А,А, );{А, ,А)( ,А,А}]=Глава 2.Случайные величины
Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописными латинскими буквами Х,У, Z,... (или строчными греческими буквами ξ (кси),… Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющихся при бросании… Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (сокращенно:…Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
гдепервая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) св., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом… Так как события {X = x1}, {X = x2} … несовместны и образуют полную группу, то…Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины
Для характеристики поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события {X < х} (а не {X = х}), где х — некоторое действительное… Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным… Функцией распределения с. в. X называется функция F(x), котораяЧисловые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства (черты) закона распределения с. в. Такие числа принято называть числовыми характеристиками с. в.
Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание (центр распределения с. в.). мода, медиана; характеристики рассеяния: дисперсия (отклонение значений с. в. от ее центра), среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание случайной величины
— имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие… Математическое ожидание (сокращенно: м.о.) обозначается через MX (или: М[Х],… Таким образом, по определениюДисперсия
Обозначается дисперсия через DX (или D[Х], DX, D(X)). Таким образом, по определению DX = М(Х - MX)2 (2.12) или DX = MX2, или DX = М(Х — mX)2- Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из…Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением с. в. X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозначают через σх (или… σх = . (2.18) Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства с. к. о.: σс =0, σсХ =|с|σх, σ(с + X) =…Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили
Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рис. 23).Глава Выборки и их характеристики