Реферат Курсовая Конспект
Независимость событий - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Из Определения Условной Вероятности (П. 1.14) Следует, Что Р(А×...
|
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что
Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22)
т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
Равенство (1.22) называют правилом или теоремой (для схемы случаев оно доказывается) умножения вероятностей. Это правило обобщается на случай п событий:
P(A1 • А2×... • Аn) =
Р(А1) × Р(А2çА1) × Р(А3çА1 • А2) •... × Р(Аn\А1× А2×… An-1). (1.23)
Так для 3-х событий A1, А2, А3 получаем
P(A1× А2 × А3) = Р((A1× А2)× А3) = Р(А1×А2) × Р(А3çА1 • А2)=
Р(А1) × Р(А2çА1) × Р(А3çА1 • А2).
Пример 1.26. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-й шар будет белым, 2-й — синим, 3-й — черным?
Введем следующие события: A1 — первым вытащили белый шар, А2 — вторым — синий, А3 — третьим — черный. Тогда интересующее нас событие А представится в виде А= A1× А2 × А3 . По правилу умножения вероятностей Р(А) = Р(А1) × Р(А2çА1) × Р(А3çА1 • А2). Но Р(А1)=; Р(А2çА1)= , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А2 равно 3; Р(А3çА1 • А2) = , так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, P(A)=
Правило умножения вероятностей имеет особо простой вид, если события, образующие произведение, независимы.
Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство
Р(А|В) = Р(А). (1.24)
Лемма 1.1 (о взаимной независимости событий). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Из равенства (1.22), с учетом равенства (1.24), следует Р(В|А) = т.е.
Р(ВçА) = Р(В), (1.25)
а это означает, что событие В не зависит от события А.
Можно дать следующее (новое) определение независимости событий.
Два события называются независимыми, если появление одного из
них не меняет вероятность появления другого.
Для независимых событий правило умножения вероятностей (1.22) принимает вид:
Р(А×В) = Р(А)×Р(В). (1.26)
т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Равенство (1.26) часто используют в качестве определения (еще одного!) независимости событий: события А и В называются независимыми, если Р(А × В) = Р(А) × Р(В).
Можно показать, что если события А и В независимы, то независимы события и В, А и , и .
На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, «между которыми нет причинно-следственных связей».
Понятие независимости может быть распространено на случай n событий.
События А1, А2, … ,Ап называются независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А1, А2, … ,Ап называются зависимыми.
Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, и формула (1.23) упрощается
Р(А1× А2× … ×Аn) = Р(А1) ×Р(А2) •... • Р(Аn). (1.27)
Из попарной независимости событий А1, А2, … ,Аn (любые два и них независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно).
Убедимся в этом, рассмотрев следующий пример.
Пример 1.27.Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бел голубого). Исследовать на независимость события: К — выбранный флаг имеет красный цвет, Г — имеет голубой цвет; Б — имеет белый цвет.
Возможных исходов выбора 4; событию К благоприятствуют 2 исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому Р(К)=. Аналогично находим, что Р(Г) = Р(Б) = . Событию К×Г — выбран флаг, имеющий 2 цвета (красный и голубой), — благоприятствует один исход. Поэтому, Р(К • Г) = . И так как Р(К • Г) === Р(К) • Р(Г) , то события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости: событий К и В, Б и Г. Стало быть, события К, Б, Г попарно независимы. А так как Р(К × Г • Б) = ≠ Р(К) • Р(Г) • Р(Б) = , то события К, Г и Б не являются независимыми в совокупности.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Независимость событий
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов