Вероятность суммы событий

Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных событий.

Теорема 1.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения,

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). (1.28)

Представим события А + В и В в виде суммы двух несовместных событий: А+В = А+В, В = АВ + В(см. п. 1.3, пример 1.2 и упражнение 1). В справедливости этих формул можно наглядно убедиться на рис. 11.

Рис. 11

Тогда, согласно аксиоме A3, имеем Р(А + В) = Р(А) + Р(В× ) и Р(В) = Р(АВ) + Р(В). Отсюда следует Р(А + В) = Р(А) + Р(В) –Р(АВ). Формула (1.28) справедлива для любых событий А и В. Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий; для трех событий она имеет вид

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)-

- Р(А×В) – Р(А×С) – Р(В×С) + Р(А×В× С). (1.29)

 

 

Справедливость равенства поясняет рис. 12.

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий P(S) = P(А₁+ А₂ +… +А_п ), используя равенство P(S)+P()= 1, где = — противоположно событию S. Тог,: P(S)=1 — P(). Мы уже использовали этот прием в п. 1.12.

Пример 1.28.Бросаются две игральные кости. Какова вероятноcть появления хотя бы одной шестерки?

Введем события: А — появление шестерки на первой кости, В на второй кости. Тогда А + В — появление хотя бы одной шестерки бросании костей. События A и В совместные. По формуле (1.28) находим Р(А+В) =. (Иначе: Р()=Р()=Следовательно. P(S) =1- .)