Формула полной вероятности

Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А₁, А₂, … ,А_n образуютполную группу, если A_i×A_j =Æ, i ≠ j и . Систему такихсобытий называют также разбиением.

Теорема 1.2.Пусть события H₁, H₂, ..., Н_n образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности.

P(A) = (1.30)

Так как H₁+ H₂+ ...+ Н_n =Ώ, то в силу свойств операций над событиями (п. 1.3), А = А ×Ώ, = А × (H₁ + H₂ + ... + Н_n) = А × H₁+ А × Н₂ + … + А × Н_n. Из того, что H_i×H_j =Æ, следует, что (А × H_i) × (А ×H_j) = Æ, i ≠ j, т.е. события А × H_i и А ×H_j также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А)= Р(А • H₁) + Р(А×Н₂) + ... + Р(А • Н_n) т.е. Р(А) = По теореме умножения вероятностей Р(А × H_i) = P(H_i) × Р(А| H_i), откуда следует формула (1.30).

Отметим, что в формуле (1.30) события H₁, H₂, ..., Н_n обычно и называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположен, (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие — один из возможных исходов второго этапа.

Пример 1.29.В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% — из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II — 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый — это выбор цеха. Имеется две гипотезы: Н₁ — деталь изготовлена I цехом, H₂ -II цехом. Второй этап — взятие детали. Событие А — взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события Н₁ и H₂ образуют полную груп­пу, P(Н₁) = 0,4, Р(H₂) = 0,6. Числа 0,90 и 0.95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез H₁ и H₂ соответствен­но, т.е. Р(А÷Н₁) = 0,90 и Р(АçН₂) = 0,95. По формуле (1.30) находим:

Р(А) = = 0,4 • 0,90 + 0,6 • 0,95 = 0,93.