Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописными латинскими буквами Х,У, Z,... (или строчными греческими буквами ξ (кси), η(эта), θ (тэта), ψ (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х1, х2 ,…, у1, у2, у3…
Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) У — число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z — время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, ...).
Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (сокращенно: д.с.в.).
Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: н.с. в.).
То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и У (примеры 1) и 2)) являются дискретными. Св. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0,t), где t ≥ 0, правая граница не определена (теоретически t =+∞). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.
Дадим теперь строгое определение св., исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.
Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ώ, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число X(w), т.е. X = X(w), w Î Ώ (или X = f(w)).
Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС Ώ={ w1, w2, w3, w4}, где w1 = ГГ, w2 = ГР, w3 = РГ, w1 = РР, можно рассмотреть с. в. X — число появлений герба. С. в. X является функцией от элементарного события wi: X(w1) = 2, X(w2) = 1, X(w3) = 1, X(w4)= 0; X — д. с. в. со значениями x1 = 0, x2=1, x3 = 2.
Отметим, что если множество Ώ конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на Ώ. В общем случае функция X(w) должна быть такова, чтобы для любых x ÎR событие А = {w : X(w) < х} принадлежало s-алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р(А) = Р(Х < х).
Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возможных значений: необходимо еще знать вероятности этих значений.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А Í S (S — s-алгебра событий пространства Ώ), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением). Про св. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».