Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Пусть X — Д. С. В., Которая Принимает Значения X1, X2...
Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x1, x2, x3,…,xn,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью pi, где i = 1,2,3, ...,n,… . Закон распределения д. с. в. Удобно задавать с помощью формулы pi = Р{Х = xi }, i= 1,2,3,... ,n,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение xi. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы, распределения:
X
x1
x2
….
xn
…
P
p1
p2
….
pn
…
гдепервая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) св., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
Так как события {X = x1}, {X = x2} … несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12), т.е. . Закон распределения д. с. в. можнозадать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки ( x1, p1), (x2, p2) называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).
Рис. 17
Теперь можно дать более точное определение д. с. в.
Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел x1, x2, ... таких, что Р{Х = xi} = pi> 0 (i = 1,2,...) p1 + p2+ p3 +…=1.
Определим математические операции над дискретными с. в.
Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей значения xi с вероятностями pi = Р{Х = xi }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, принимающей значения yj с вероятностями pi = Р{Y = yj }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X + Y (Z = X — Y, Z = X × Y), принимающая значения zij = xi + yj (zij= xi – yj, zij = xi × yj ) с вероятностями pij = Р{ Х = xi ,Y = yj }, для всех указанных значений iи j. В случае совпадения некоторых сумм xi + yj (разностей xi – yj, произведений xi × yj)соответствующие вероятности складываются.
Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения с xi , с вероятностями рi = Р{Х = xi }.
Две д. с. в. X и Y называются независимыми, если события {X = xi } = Аi и {Y = yj } = Вj независимы для любых I= 1,2,... ,n; j = l,2,...,m, т.е.
P{X = xi ;Y = yj } =P{X = xi } ×P {Y = yj }
В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Пример 2.1.В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Возможные значения с. в. X — числа белых шаровв выборке есть x1= 0, x2 = 1, x3 = 2, x4= 3. Вероятности их соответственно будут р1 = Р{Х = 0} = , р2 = Р{Х = 1} = , р3 = Р{Х = 2} = , р4 = Р{Х = 3} = , Закон распределения запишем в виде таблицы.
Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...
Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.
Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.
Суммой событий А и В называется событие С = А +
Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие.
Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.
Комбин
Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн
Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.
С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
Р(Æ) =0.
Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {
Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн
Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что
Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22)
т. е. вероятность произведения
Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с
Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …
Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе
Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в
определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X,
— имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, называется число, равное сумме произвед
Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер
Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления
Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспетчера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен
Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения/
Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве
Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для наглядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отлич
Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5).
Пусть статистическое распределение выб
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов