Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Очевидно, ряд распределения с.в. может быть построен только для д.с. в.: для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдель­но взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н. с. в. — точно равен = 1,7320508 .. . ме­тров; купленная нами лампа проработает — н.с. в. — ровно 900 часов; .... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет ну­левую вероятность.

Для характеристики поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события {X < х} (а не {X = х}), где х — некоторое дей­ствительное число. С точки зрения практики нас мало интересует собы­тие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X = 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при из­менении х вероятность события {X < х} в общем случае будет менять­ся. Следовательно, вероятность Р{Х < х} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятно­стей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случай­ных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F_x (х) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой св. идет речь).

Функцией распределения с. в. X называется функция F(x), которая

для любого числа х Î R равна вероятности события {X < х}.

Таким образом, по определению

F(x)=P{X < х} т.е. F(x)=P{w: X (w)< х} (2.1)

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (-¥, х), как показано на рис.

 

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. F(x) ограничена, т. е.

0£F(x)£ 1.

2. F(x) — неубывающая функция на R, т. е. если х₂ > х, то

F(x₂)≥F(x₁),

3. F(x) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т. е.

F(-¥)=0, F(+¥) = 1.

4. Вероятность попадания с. в. X в промежуток [а, b) равна прираще­нию ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

Р{а£Х <b} = F(b)-F(a). (2.2)

5. F(x) непрерывна слева, т. е.

F(x) = F(x₀).

1. Первое свойство следует из определения (2.1) и свойств вероят­ности (п. 1.11. 1.12).

2. Пусть А = {X < x₁}, В = {X < x₂}. Если x₁ < х₂, то собы­тие А влечет событие В (п. 1.4), т. е. А Í В. Но тогда согласно свой­ству 4 (п. 1.12), имеем Р(А) £ Р(В), т.е. Р{Х < x₁} £ Р{Х < х₂} или F(x₁) < F(x₂).

Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в интервал (—∞,х) не может уменьшаться.

3. Третье свойство вытекает непосредственно из того, что {X < —∞} = Æ, а {X < +∞} = Ώ; согласно свойствам вероятности (п. 1.11, 1.12), имеем: F(-∞) = Р{Х < -∞} = Р{Æ} = 0, F{+∞) = = Р{Х <+∞} = Р{Ώ} = 1.

4. Так как а < b, то очевидно, что {X < b} = {X < а} + {а £X < b} (это хорошо видно на рис. 19).

Так как слагаемые в правой части — несовместные события, то по теореме сложения вероятностей (п. 1.11) получаем Р{Х < b} = Р{Х < а} + Р{а £X < b}. Отсюда следует Р{а £X <b} = = Р{Х <b}- Р{Х < а} = F(b) - F(a).

Рис. i9

Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины.

Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н. с. в., и для д. с. в.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события {X ≥ x}:

Р{Х ≥ x} = l-F(x). (2.3)

Можно дать более точное определение н. с. в.

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что н. с. в. X примет заранее указанное определенное значение a, равна ну­лю».

Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку [a, x): Р{а £X < х}= F(x) — F(a). Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция F(x) непрерывна в точке а, то F(x) = F(a). В пределе получим Р{Х = а} = F(x) – F(a) = F(a) – F(a) = 0. Если функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. равна нулю.

Следовательно, для н.с. в. справедливы равенства

Р{а £х<b} = Р{а < х < b} = Р{а £ х £ b} = Р{Х Î(а. b]}.

Действительно,

Р{а £х<b} =P{X=a} + Р{а < х < b} = Р{а < х < b} }.

и т.д.

Функция распределения д. с. в. имеет вид

F(x) = (2.4)

Здесь суммирование ведется по всем i, для которых х_i < x. Равен­ство (2.4) непосредственно вытекает из определения (2.1).

Пример 2.2.По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распре­деления F(x) и построить ее график.

Будем задавать различные значения х и находить для них F( x )= Р{Х < х}:

1. Если х £ 0, то, очевидно, F(x) = Р{Х < 0} = 0;

2. Если 0 < х £ 1,то F(x) = Р{Х < х} = Р{Х = 0} = ;

3. Если 1< х £ 2. то F(x) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} = +=

4. Если 2 < x £ 3. то F(x) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} = ++=

5. Если 3 < х, то F(x) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} + Р{Х=3}= +=1.

Итак,

(2.5)

Строим график F(x), рис. 20.

Рис. 20

Как видим, функция распределения д. с. в. X есть разрывная, со скачками p_i в точках x_i, функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.

Отметим, что пользуясь равенством (2.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (2.5)