рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - раздел Математика, Теория вероятности. Возникновение математики случайного Очевидно, Ряд Распределения С.в. Может Быть Построен Только Для Д.с. В.: Для ...

Очевидно, ряд распределения с.в. может быть построен только для д.с. в.: для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдель­но взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н. с. в. — точно равен = 1,7320508 .. . ме­тров; купленная нами лампа проработает — н.с. в. — ровно 900 часов; .... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет ну­левую вероятность.

Для характеристики поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события {X < х} (а не {X = х}), где х — некоторое дей­ствительное число. С точки зрения практики нас мало интересует собы­тие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X = 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при из­менении х вероятность события {X < х} в общем случае будет менять­ся. Следовательно, вероятность Р{Х < х} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятно­стей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случай­ных величин, является ее функция распределения, обозначаемая Fx (х) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой св. идет речь).

Функцией распределения с. в. X называется функция F(x), которая

для любого числа х Î R равна вероятности события {X < х}.

Таким образом, по определению

F(x)=P{X < х} т.е. F(x)=P{w: X (w)< х} (2.1)

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (-¥, х), как показано на рис.

 

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. F(x) ограничена, т. е.

0£F(x)£ 1.

2. F(x) — неубывающая функция на R, т. е. если х2 > х, то

F(x2)≥F(x1),

3. F(x) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т. е.

F(-¥)=0, F(+¥) = 1.

4. Вероятность попадания с. в. X в промежуток [а, b) равна прираще­нию ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

Р{а£Х <b} = F(b)-F(a). (2.2)

5. F(x) непрерывна слева, т. е.

F(x) = F(x0).

1. Первое свойство следует из определения (2.1) и свойств вероят­ности (п. 1.11. 1.12).

2. Пусть А = {X < x1}, В = {X < x2}. Если x1 < х2, то собы­тие А влечет событие В (п. 1.4), т. е. А Í В. Но тогда согласно свой­ству 4 (п. 1.12), имеем Р(А) £ Р(В), т.е. Р{Х < x1} £ Р{Х < х2} или F(x1) < F(x2).

Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в интервал (—∞,х) не может уменьшаться.

3. Третье свойство вытекает непосредственно из того, что {X < —∞} = Æ, а {X < +∞} = Ώ; согласно свойствам вероятности (п. 1.11, 1.12), имеем: F(-∞) = Р{Х < -∞} = Р{Æ} = 0, F{+∞) = = Р{Х <+∞} = Р{Ώ} = 1.

4. Так как а < b, то очевидно, что {X < b} = {X < а} + {а £X < b} (это хорошо видно на рис. 19).

Так как слагаемые в правой части — несовместные события, то по теореме сложения вероятностей (п. 1.11) получаем Р{Х < b} = Р{Х < а} + Р{а £X < b}. Отсюда следует Р{а £X <b} = = Р{Х <b}- Р{Х < а} = F(b) - F(a).

Рис. i9

Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины.

Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н. с. в., и для д. с. в.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события {X ≥ x}:

Р{Х ≥ x} = l-F(x). (2.3)

Можно дать более точное определение н. с. в.

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что н. с. в. X примет заранее указанное определенное значение a, равна ну­лю».

Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку [a, x): Р{а £X < х}= F(x) — F(a). Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция F(x) непрерывна в точке а, то F(x) = F(a). В пределе получим Р{Х = а} = F(x) – F(a) = F(a) – F(a) = 0. Если функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. равна нулю.

Следовательно, для н.с. в. справедливы равенства

Р{а £х<b} = Р{а < х < b} = Р{а £ х £ b} = Р{Х Î(а. b]}.

Действительно,

Р{а £х<b} =P{X=a} + Р{а < х < b} = Р{а < х < b} }.

и т.д.

Функция распределения д. с. в. имеет вид

F(x) = (2.4)

Здесь суммирование ведется по всем i, для которых хi < x. Равен­ство (2.4) непосредственно вытекает из определения (2.1).

Пример 2.2.По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распре­деления F(x) и построить ее график.

Будем задавать различные значения х и находить для них F( x )= Р{Х < х}:

1. Если х £ 0, то, очевидно, F(x) = Р{Х < 0} = 0;

2. Если 0 < х £ 1,то F(x) = Р{Х < х} = Р{Х = 0} = ;

3. Если 1< х £ 2. то F(x) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} = +=

4. Если 2 < x £ 3. то F(x) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} = ++=

5. Если 3 < х, то F(x) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} + Р{Х=3}= +=1.

Итак,

(2.5)

Строим график F(x), рис. 20.

Рис. 20

Как видим, функция распределения д. с. в. X есть разрывная, со скачками pi в точках xi, функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.

Отметим, что пользуясь равенством (2.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (2.5)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теория вероятности. Возникновение математики случайного

Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух.. Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с.. Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.

Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответ­ствуют основным операциям над множествами. Суммой событий А и В называется событие С = А +

Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем дру­гие.

Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению подсчет вероятности собы­тия А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами. Комбин

Геометрическое определение вероятности
    Геометрическое определение вероятности прим

Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероят­ностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн

Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием акси­ом Колмогорова. С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(Æ) =0.

Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {

Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. На­ступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн

Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22) т. е. вероятность произведения

Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с

Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …

Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе

Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в п независимых испытаниях собы­тие А наступит т раз (0 £т £ n

Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со слу­чайным событием и вероятностью) является понятие случайной вели­чины. Под случайной величиной понимают величину, которая в резул

Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x1, x2, x3,…,xn,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероят­ностью pi

Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X, — имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, назы­вается число, равное сумме произвед

Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи­дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Обозначается дисперсия через DX (или

Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравни­тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер

Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили
Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обознача­ется через M0X. Для н.с.b. M0X — точ

Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления

Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относи­тельно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспет­чера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен

Статистическое распределение выборки
Эмпирическая функция распределения/ Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X про­изводится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве

Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для на­глядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты от­лич

Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, ана­логичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5). Пусть статистическое распределение выб

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги