Математическое ожидание случайной величины - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Математическим Ожиданием (Или Средним Значением) Д. С. В. X,
— Имеющ...
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X,
— имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.
Математическое ожидание (сокращенно: м.о.) обозначается через MX (или: М[Х], М{Х), ЕХ, mX, aX).
Таким образом, по определению
(2.9)
Если число возможных значений св. X бесконечно (счетно), то
(2.10)
причем ряд в правой части предполагается сходящимся (в противном случае с. в. X не имеет м. о.).
Формулы (2.9) и (2.10) можно записать в виде .
Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением с. в. Действительно, т. к. , то
=
Математическим ожиданием н. с. в. X с плотностью вероятности f(x), называется число
. (2.11)
Интеграл в правой части равенства (2.11) предполагается абсолютно сходящимся, т. е.
(в противном случае н.с.в. X не имеет м.о.).
Формула (2.11) является интегральным аналогом формулы (2.9). Заменяя в ней «прыгающий» аргумент xi на непрерывно меняющийся х, вероятность pi — элементом вероятности f(x)dx (f(x)dx = F'(x)dx = dF(x) ≈ ΔF(x) = F(x + Δx)-F(x) = Р{х < X <x + Δх}), получим равенство (2.11).
Отметим, что MX имеет ту же размерность, что и св. X. Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т. е.
Мс = с.
Постоянную с можно рассматривать как д.св. X, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому Мс = с × Р{Х = с} = с • 1 = с.
2. Постоянный множитель выносится за знак м. о., т. е.
М(сХ) = сМХ.
Так как д.с.в. сХ принимает значения схi (i = 1,…,n) с вероятностями pi, то
МсХ = .
3. М. о. суммы с. в. равно сумме их м. о., т. е.
М(Х + Y) = MX + MY.
Так как д. с. в. X + Y принимает значения хi +yj с вероятностями pij = P{X = хi, Y =yj}, то
При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что
и
Действительно: так как
то
аналогично получаем
Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагаемых.
4. М. о. отклонения с. в. от ее м. о. равно нулю, т. е.
М(Х - MX) = 0.
Согласно свойствам 1 и 3, имеем: М(Х-МХ) = МХ-М(МХ) = MX — MX = 0. Отметим, что разность X — MX (или X — тх) называется отклонением с. в. X от ее м. о. MX и обозначается символом :
= X - MX.
Эта с. в. X называется также центрированной с. в.
5. М.о. произведения независимых св. равно произведению их м.о., т. е. если X и Y независимы, то
М(Х × Y) = MX × MY.
Так как с. в. X и Y независимы, то pij = Р{Х = xi,Y = yj } = Р{Х = xi }■ Р{Y = yj } = pi × pj Следовательно,
MXY =
Свойства м. о., доказанные для д. с. в., остаются справедливы и для непрерывных с. в. Так, например,
МсХ = .
Пример 2.4.В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб, 50 по 50 руб, 100 по 10 руб, 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.
Ряд распределения с.в. X — суммы выигрыша на один билет таков:
X
|
|
|
|
|
|
р
| 0,01
| 0,05
| 0,1
| 0,15
| 0,69
|
(Контроль: ) Находим MX:
MX = 500 • 0,01 + 50 • 0,05 + 10 • 0,1 + 1 • 0,15 + 0 • 0,69 = 8,65 руб.
Все темы данного раздела:
Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.
Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.
Суммой событий А и В называется событие С = А +
Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие.
Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.
Комбин
Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности прим
Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн
Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.
С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
Р(Æ) =0.
Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {
Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн
Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что
Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22)
т. е. вероятность произведения
Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с
Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …
Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе
Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в
определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n
Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в резул
Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x1, x2, x3,…,xn,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью pi
Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины
Очевидно, ряд распределения с.в. может быть построен только для д.с. в.: для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность кажд
Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер
Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили
Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обозначается через M0X. Для н.с.b. M0X — точ
Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления
Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспетчера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен
Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения/
Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве
Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для наглядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отлич
Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5).
Пусть статистическое распределение выб
Новости и инфо для студентов