Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X,

— имеющей закон распределения р_i = Р{Х = x_i}, i= 1,2, 3,... , n, назы­вается число, равное сумме произведений всех ее значений на соответ­ствующие им вероятности.

Математическое ожидание (сокращенно: м.о.) обозначается через MX (или: М[Х], М{Х), ЕХ, m_X, a_X).

Таким образом, по определению

(2.9)

Если число возможных значений св. X бесконечно (счетно), то

(2.10)

причем ряд в правой части предполагается сходящимся (в противном случае с. в. X не имеет м. о.).

Формулы (2.9) и (2.10) можно записать в виде .

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением с. в. Действительно, т. к. , то

=

 

Математическим ожиданием н. с. в. X с плотностью вероятности f(x), называется число

. (2.11)

Интеграл в правой части равенства (2.11) предполагается абсолютно сходящимся, т. е.

(в противном случае н.с.в. X не имеет м.о.).

Формула (2.11) является интегральным аналогом формулы (2.9). Заменяя в ней «прыгающий» аргумент x_i на непрерывно меняющий­ся х, вероятность p_i — элементом вероятности f(x)dx (f(x)dx = F'(x)dx = dF(x) ≈ ΔF(x) = F(x + Δx)-F(x) = Р{х < X <x + Δх}), получим равенство (2.11).

Отметим, что MX имеет ту же размерность, что и св. X. Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоян­ной, т. е.

Мс = с.

Постоянную с можно рассматривать как д.св. X, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому Мс = с × Р{Х = с} = с • 1 = с.

2. Постоянный множитель выносится за знак м. о., т. е.

М(сХ) = сМХ.

Так как д.с.в. сХ принимает значения сх_i (i = 1,…,n) с вероятно­стями p_i, то

МсХ = .

3. М. о. суммы с. в. равно сумме их м. о., т. е.

М(Х + Y) = MX + MY.

Так как д. с. в. X + Y принимает значения х_i +y_j с вероятностями p_ij = P{X = х_i, Y =y_j}, то

 

При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что

и

Действительно: так как

то

аналогично получаем

Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагае­мых.

4. М. о. отклонения с. в. от ее м. о. равно нулю, т. е.

М(Х - MX) = 0.

Согласно свойствам 1 и 3, имеем: М(Х-МХ) = МХ-М(МХ) = MX — MX = 0. Отметим, что разность X — MX (или X — тх) назы­вается отклонением с. в. X от ее м. о. MX и обозначается символом :

= X - MX.

Эта с. в. X называется также центрированной с. в.

 

5. М.о. произведения независимых св. равно произведению их м.о., т. е. если X и Y независимы, то

М(Х × Y) = MX × MY.

Так как с. в. X и Y независимы, то p_ij = Р{Х = x_i,Y = y_j } = Р{Х = x_i }■ Р{Y = y_j } = p_i × p_j Следовательно,

MXY =

Свойства м. о., доказанные для д. с. в., остаются справедливы и для непрерывных с. в. Так, например,

МсХ = .

Пример 2.4.В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб, 50 по 50 руб, 100 по 10 руб, 150 по 1 руб. Найти математи­ческое ожидание выигрыша на один билет.

Ряд распределения с.в. X — суммы выигрыша на один билет таков:

X
р	0,01	0,05	0,1	0,15	0,69

(Контроль: ) Находим MX:

MX = 500 • 0,01 + 50 • 0,05 + 10 • 0,1 + 1 • 0,15 + 0 • 0,69 = 8,65 руб.