рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Модой Д. С. В. X Называется Ее Значение, Принимаемое С Наибольшей Вер...

Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обозначается через M₀X. Для н.с.b. M₀X — точка максимума (локального) плотности f_x(x).

Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рис. 23).

Рис. 23

Медианой М_еХ н.с.в. X называется такое ее значение х_р, для которого

Р{Х < х_р} = Р{Х > х_р} =, (2.19)

т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше х_р или больше х_р(рис. 23).

С помощью функции распределения F(x) равенство (2.19) можно записать в виде F(M_eX) = 1 - F(M_eX). Отсюда F(M_eX) = .

Для д. с. в. медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий — моментов с. в.

Начальным моментом порядка к св. X называется м.о. k-й степени этой величины, обозначается через α_к.

Таким образом, по определению

α_к = М(Х^к).

Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:

α_к =

а для н. с. в. — интегралом:

α_к =

В частности, α₁=MX, т.е. начальный момент 1-го порядка есть м.о. Центральным моментом порядка k с. в. X называется м.о. величины (X — МХ)^k, обозначается через μ_k.

Таким образом, по определению

μ_к = М(Х - МХ)^k.

В частности, μ₂=DX, т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; μ₁ = М(Х — MX) =0 (см. свойство 4 м.о.).

Для д. с. в.:

μ_к =

а для н. с. в.:

μ_к=

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так. Μ₂ = DX = α₂— α₁² (действительно: μ₂ = DX = MX² — (MX)² = α₂ — α₁²); μ₃= α₃ — 3 α₁ α₂ + 2 α₁³, μ₄= α₄ - 4 α₁ α₃ + 6 α₁² α₂ — 3 α₁⁴ и т. д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии («скошенности») A с.в. X называется величина

А=

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от M₀X (рис. 24).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от M₀X (рис. 25).

Коэффициентом эксцесса («островершинности») Е с. в. X называется величина

Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е > 0 — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик св., в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения

F_X(x_P) =p,

где р — некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили x_0,25, x_0,5 и x_0,75 имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (М_еХ = x_0,5), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0, 25 (рис. 27).

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости

Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.

Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами. Суммой событий А и В называется событие С = А +

Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие.

Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами. Комбин

Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности прим

Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн

Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова. С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(Æ) =0.

Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {

Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн

Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22) т. е. вероятность произведения

Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с

Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …

Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе

Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n

Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в резул

Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x1, x2, x3,…,xn,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью pi

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины
Очевидно, ряд распределения с.в. может быть построен только для д.с. в.: для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность кажд

Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X, — имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, называется число, равное сумме произвед

Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Обозначается дисперсия через DX (или

Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер

Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления

Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспетчера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен

Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения/ Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве

Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для наглядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отлич

Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5). Пусть статистическое распределение выб