Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Такой оценкой является вероятность события. т. е. число, выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Математических определений вероятностей существует несколько, все они дополняют и обобщают друг друга.
Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (говорят: «проводятся повторные испытания»), в котором наблюдается некоторое событие А.
Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов).
Вероятность события А обозначается (символом Р(А). Согласно данному определению
Р(А)=Р*(А) = (1.2)
Математическим обоснованием близости относительной частоты Р*(А) и вероятности Р(А) некоторого события А служит теорема Я. Бернулли (см. п. 5.3).
Вероятности Р(А) приписываются свойства 1-4 относительной частоты:
1. Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.
0 £ Р(А) £ 1.
2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю т.е.
Р(Æ) = 0.
3. Статистическая вероятность достоверного события равна единице, т. е.
Р(Ώ) = 1.
4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А • В = Æ, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Статистический способ определения вероятности, опирающийся на реальный опыт, достаточно полно выявляет содержание этого понятия. Некоторые ученые (Р. Мизес и другие) считают, что эмпирическое определение вероятности (т. е. р = ) следует считать основным определением вероятности.
Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так в примере с бросанием монеты в качестве вероятности можно принять не только число 0,5, но и 0,49 или 0,51 и т. д. Для надежного определения вероятности нужно проделать большое число испытаний (опытов), что не всегда просто (или дешево).