Геометрическое определение вероятности - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости ...
Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда исходы опыта равновозможны, а ПЭС (или Ώ) есть бесконечное несчетное множество. Рассмотрим на плоскости некоторую область Ώ, имеющую площадь S Ώ , и внутри области Ώ область D с площадью SD(см. рис. 8).
В области Ώ случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область Ώ. При этом попадание точки в область Ώ, — достоверное событие, в D — случайное. Предполагается, что все точки области Ώ, равноправны (все элементарные события равновозможны), т. е. что брошенная точка может попасть в любую точку области Ώ и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие А = {X Î D},т.е. брошенная точка попадет в область D.
`Геометрической вероятностью события Аназывается отношение площади области D к площади области Ώ, т. е.
Р(А) = (1.15)
Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области Ώ и D обе линейные или объемные. В первом случае
Р(А) = (1.16)
во втором —
где l — длина, а V — объем соответствующей области.
Все три формулы ((1.15)), ((1.16)), ((1.17)) можно записать в виде
P(A)=, где через mes обозначена мера (S, l, V) области.
Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому (и другим) определению:
1. Геометрическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.
0 £ Р(А) £ 1.
2. Геометрическая вероятность невозможного события равна 0 т.е.
Р(Æ) = 0.
3. Геометрическая вероятность достоверного события равна единице т. е.
Р(Ώ) = 1.
4. Геометрическая вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А ■ В =Æ, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Проверим, например, свойство 4: пусть А = {х Î D1}, B= {х Î D2}, где D1 • D2 = Æ, т. е. D1и D2 непересекающиеся области.
Тогда Р(А + В) =
Пример 1.23.(Задача о встрече.) Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.
Решение. Пусть х — время прихода первого, а у — второго. Возможные значения х и у: 0 £ х £ 60, 0 £ у £ 60 (в качестве единиц масштаба возьмем минуты), которые на плоскости Оху определяют квадрат со стороной, равной 60. Точки этого квадрата изображают время встречающихся (см. рис. 9).
Рис. 9
Тогда Ώ= {(х, у) : 0 £ х £ 60, 0£ у £ 60}; все исходы равновозможны, так как лица приходят наудачу. Событие А— лица встретятся — произойдет, если разность между моментами их прихода будет не более 15 мин (по модулю), т.е. А = {(х,у) : çу - х ç £ 15}. Неравенство \у — х\ £ 15, т. е. х — 15 £ у£ х + 15 определяет область, заштрихованную на рис. 9, т. е. точки полосы есть исходы, благоприятствующие встрече. Искомая вероятность определяется по формуле (1.15):
Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Геометрическое определение вероятности
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.
Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.
Суммой событий А и В называется событие С = А +
Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие.
Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.
Комбин
Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн
Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.
С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
Р(Æ) =0.
Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {
Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн
Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что
Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22)
т. е. вероятность произведения
Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с
Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …
Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе
Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в
определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X,
— имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, называется число, равное сумме произвед
Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер
Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления
Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспетчера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен
Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения/
Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве
Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для наглядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отлич
Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5).
Пусть статистическое распределение выб
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов