В области Ώ случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область Ώ. При этом попадание точки в область Ώ, — достоверное событие, в D — случайное. Предполагается, что все точки области Ώ, равноправны (все элементарные события равновозможны), т. е. что брошенная точка может попасть в любую точку области Ώ и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие А = {X Î D}, т.е. брошенная точка попадет в область D.
`Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области D к площади области Ώ, т. е.
Р(А) = (1.15)
Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области Ώ и D обе линейные или объемные. В первом случае
Р(А) = (1.16)
во втором —
где l — длина, а V — объем соответствующей области.
Все три формулы ((1.15)), ((1.16)), ((1.17)) можно записать в виде
P(A)=, где через mes обозначена мера (S, l, V) области.
Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому (и другим) определению:
1. Геометрическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.
0 £ Р(А) £ 1.
2. Геометрическая вероятность невозможного события равна 0 т.е.
Р(Æ) = 0.
3. Геометрическая вероятность достоверного события равна единице т. е.
Р(Ώ) = 1.
4. Геометрическая вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А ■ В =Æ , то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Проверим, например, свойство 4: пусть А = {х Î D1}, B= {х Î D2}, где D1 • D2 = Æ, т. е. D1 и D2 непересекающиеся области.
Тогда Р(А + В) =
Пример 1.23.(Задача о встрече.) Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.
Решение. Пусть х — время прихода первого, а у — второго. Возможные значения х и у: 0 £ х £ 60, 0 £ у £ 60 (в качестве единиц масштаба возьмем минуты), которые на плоскости Оху определяют квадрат со стороной, равной 60. Точки этого квадрата изображают время встречающихся (см. рис. 9).
Рис. 9
Тогда Ώ= {(х, у) : 0 £ х £ 60, 0£ у £ 60}; все исходы равновозможны, так как лица приходят наудачу. Событие А— лица встретятся — произойдет, если разность между моментами их прихода будет не более 15 мин (по модулю), т.е. А = {(х,у) : çу - х ç £ 15}. Неравенство \у — х\ £ 15, т. е. х — 15 £ у£ х + 15 определяет область, заштрихованную на рис. 9, т. е. точки полосы есть исходы, благоприятствующие встрече. Искомая вероятность определяется по формуле (1.15):
P(A)=