Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.
С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
Р(Æ) =0.
Так как А + Æ = А и А×Æ= Æ, то согласно аксиоме A3 имеем Р(А) + Р(Æ) = Р(А), следовательно, Р(Æ) = 0.
С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
Р(А)+Р() = 1.
Поскольку А+ = Ώ, то Р(А+) = Р(Ώ), а так как А×.= Æ, то в силу аксиом А2 и A3 получаем Р(А) + Р()= 1.
СЗ. Вероятность любого события не превосходит единицы, т. е.
Р(А)£ 1.
Из свойства С2 вытекает, что Р(А) = 1 - Р(). С учетом аксиомы А1 получаем Р(А)£ 1.
С4. Если АÍ В, т. е. событие А влечет за о собой событие В, то
Р(А) £ Р(B)
Так как В = (В - А) + А при АÍ С В и (В - А) • А =Æ , то согласно аксиоме A3 получаем Р(В) = Р(В-А)+Р(А). Но Р(В-А) ≥ 0 (аксиома А1), поэтому Р(В)≥ Р(А).
С5. Если события А1, А2, .., Ап образуют полную группу несовместных событий, т. е. и Аi • Aj = Æ, то
Так как А1 + А2 +... + Ап = Ώ, то, согласно аксиомам А2 и A3, имеем P(A1 + А2 + ... + Аn) = Р(А1 )+ Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1. ■
Заметим, что из Р(А) = 0 не следует А = Æ.
Пример 1.24. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают тpи карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».
Пусть А — интересующее нас событие, А1 — появление одной «дамы», А2— двух «дам», А3 — трех «дам». Тогда А = А1 + А2 + А3 , причем события А1 , А2 , А3 несовместные. Поэтому Р(А) = Р(А1 )+ Р(А2 )+Р( А3). Число всевозможных случаев выбора трех карт из 36 равно ; число случаев, благоприятных событиям А1 , А2 , А3, соответственно равно , , Таким образом,
Р(А) == 0.31.
Задача решается проще, если воспользоваться свойством С2. Находим Р(), где — среди вынутых карт нет ни одной «дамы»! Р()=
Значит, Р(А) = 1 - 0,69 = 0,31.