Условные вероятности

Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. На­ступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одних со­бытий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих со­бытий к вероятности события А, причем Р(А)0, обозначается сим­волом Р(В|А).

Таким образом, по определению

Р(В|А)= P(A)≠0 (1.20)

Вероятность Р(В), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т.е. Р(А|В):

Р(А|В) = P(B)≠0 (1.21)

Отметим, что условная вероятность, скажем Р(ВçА), удовлетворяет аксиомам Колмогорова (п. 1.11): Р(ВçА) ≥ 0, очевидно; Р(ΏçА)=; P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A), если B×C=Æ. Поэтому для условной вероятности справедливы все следствия (свойства) из аксиом, полученные в п. 1.12. Формула (1.20) принимает­ся по определению при аксиоматическом определении вероятности: в случае классического (геометрического, статистического) определение она может быть доказана.

Пример 1.25. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последователь- но вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-й шар окажется

белым при условии, что 1-й шар был черным?

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А — 1-й шар черный, В — 2-й шар белый. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому P(В|А) =

2. Найдем Р(ВçА) по формуле (1.20). Очевидно, что Р(А)=. Находим Р(АВ): n= 9×8 = 72 — общее число исходов (появление двух шаров). Событию АВ благоприятствуют т = = 14 исходов. Поэтому Р(АВ) = . Следовательно, Р{В|А) =.