ЗАГАЛЬНІ ПРИНЦИПИ ВИЗНАЧЕННЯ ОЦІНОК. ОЦІНКА МАТЕМАТИЧНОГО ОЧІКУВАННЯ

ЗМІСТ

 

 

Розділ 1.	ЗАГАЛЬНІ ПРИНЦИПИ ВИЗНАЧЕННЯ ОЦІНОК. ОЦІНКА МАТЕМАТИЧНОГО ОЧІКУВАННЯ .......
	Тема 1.1.	Вступ. Поняття та означення теорії випадкових функцій. Головна задача математичної статистики .............................
	Тема 1.2.	Загальні принципи визначення оцінок. Сукупні оцінки, незсуненість, порівняльна ефективність ..................................................
	Тема 1.3.	Розрахункові моделі .....................................
	Питання для самоконтролю ...........................................
Розділ 2.	ОЦІНКА КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ .......................
	Тема 2.1.	Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу ....................................
	Тема 2.2.	Аналітична апроксимація експериментальної кореляційної функції ..
	Тема 2.3.	Розрахункові моделі .....................................
	Питання для самоконтролю ...........................................
Розділ 3.	ОЦІНКА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩІЛЬНОСТІ ................
	Тема 3.1.	Визначення спектральної щільності за попередньо обчисленою кореляційною функцією ........................................................
	Тема 3.2.	Безпосереднє застосування перетворення Фур’є ..............................................................
	Тема 3.3.	Види оцінок спектральної щільності .........
	Питання для самоконтролю ...........................................
Розділ 4.	ОЦІНКА ЗАКОНА РОЗПОДІЛУ ОРДИНАТ СТАЦІОНАРНОГО ПРОЦЕСУ ...................................
	Тема 4.1.	Незсуненість і обгрунтованість оцінки розподілу ординат ......................................
	Тема 4.2.	Гістограма ......................................................
	Тема 4.3.	Критерій узгодженості Пірсона ..................
	Тема 4.4.	Приклади обчислення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу .........................................................
	Питання для самоконтролю ...........................................
Перелік літературних джерел ...........................................................

РОЗДІЛ 1

ЗАГАЛЬНІ ПРИНЦИПИ ВИЗНАЧЕННЯ ОЦІНОК. ОЦІНКА МАТЕМАТИЧНОГО ОЧІКУВАННЯ

Тема 1.1. Вступ. Поняття та означення теорії випадкових функцій. Головна задача математичної статистики

 

Імовірнісні характеристики зовнішніх збурень, що чинять вплив на елементи апаратури та обладнання (математичні очікування, кореляційні функції, закони розподілу ординат випадкових функцій тощо), в багатьох прикладних задачах окреслюються не шляхом теоретичних міркувань, а експериментальною обробкою матеріалу. Методи, які при цьому використовуються, принципово не відрізняються від відомих шляхів математичної статистики, однак мають деякі особливості, пов’язані з тим, що ординати реалізацій випадкових функцій постають реалізаціями залежних випадкових величин.

Головною задачею математичної статистики, як при обробці сукупності незалежних реалізацій випадкових величин, так і при обробці неперервних реалізацій випадкових функцій, постає обчислення кількісних параметрів чи закономірностей, які характеризують імовірносні властивості вивчаємих процесів.

Прикладами таких задач можуть слугувати процедури визначення математичного очікування випадкового процесу, його кореляційної функції, а також спектральної щільності (функції розподілу).

На жаль, у всіх цих випадках точне обчислення величин, за виключенням окремих особливих явищ, неможливе з тих причин, що вони отримані з експерименту і результати постають випадковими.

Таким чином, першою задачею, яка постає при статистичній обробці експериментальних даних, є визначення наближених значень параметрів чи функцій, котрі доцільно прийняти за вихідні. Ці наближені величини у математичній статистиці іменуються «оцінками», або «наближеними значеннями».

Загальні принципи визначення оцінок. Оцінка математичного очікування. Для позначення оцінок будемо використовувати ті ж літерні символи що і для аналізуємого параметру, але відокремлюючи їх зверху хвилястою лінією. Так, наприклад, оцінку математичного очікування будемо позначати , оцінку кореляційної функції - і т.д.

Щоб із розмаїття оцінок, які можуть бути запропоновані для однієї і тієї ж величини, обрати найбільш слушну, слід з’ясувати деякі загальні властивості оцінок. Головним з них постають обгрунтованість, незсуненість та ефективність.

Оцінка зветься обгрунтованою, якщо з ростом об’єму статистичного матеріалу (збільшення об’єму виборки для незалежних дискретних спостережень випадкової величини, чи тривалості реалізації для неперервного процесу) імовірність будь-яких завгодно малих відхилень від оцінюваємої величини прямує до нуля. Якщо оцінка обгрунтована, тоді для досить великого об’єму статистичного матеріалу можна з практичною імовірністю стверджувати, що похибка оцінки не буде перевищувати припустимої величини. На той випадок, коли оцінка необгрунтована, такої впевненості бути не може, навіть за досить великого об’єму матеріалу.

Оцінка зветься незсуненою, якщо її математичне очікування дорівнює оцінюваємій величині. Вимога незсуненості оцінки еквівалентна вимозі відсутності систематичної похибки. Зрозуміло, що ця властивість підкреслює переваги такої оцінки.

І все ж таки, для побудови найбільш простої оцінки, обмежуються, зазвичай, вимогою асимптотичної незсуненості оцінки, тобто вимогою асимптотичного прямування значення оцінки математичного очікування до оцінюваємої величини з ростом об’єму статистичного матеріалу.

Під порівняльною ефективністю незсунених оцінок розуміють відношення дисперсій оцінок. Чим менша дисперсія незсуненої оцінки, тим краща сама оцінка. Часто-густо вдається означити незсунену оцінку, тобто таку, яка має найменшу дисперсію. Її іменують ефективною.

Не слід повсякчас намагатися використовувати найефективнішу оцінку, бо за певних обставин доцільно, все ж таки, користуватися менш ефективною, але, разом з тим, більш простою оцінкою. Інколи (наприклад, за досить великого об’єму статистичного матеріалу), доцільно залучати навіть малоефективні оцінки, які нараз спричиняють до значного спрощення обчислень.

Крім загальної характеристики якості оцінки збурюючих чинників (обгрунтованість, незсуненість, ефективність), виникає, подекуди, потреба визначення точності отриманої оцінки.

Для цього в статистиці звичайно користуються поняттям вірогідного інтервалу та вірогідної імовірності, суть яких полягає в тому, щоб величина оцінюваємого параметру не виходила за межі інтервалу Внаслідок того, що являється величиною випадковою, тому вірогідність отримання похибки в заданому інтервалі можна оцінити тільки впровадженням вірогідністі [1]

Ця імовірність носить назву вірогідної імовірності, а інтервал - вірогідного інтервалу.

Для визначення оцінок застосовується ціла низка аналітичних методів. Найбільш узагальненим з них, який найчастіше дає найбільш ефективні оцінки, є метод максимуму правдоподібності.

Інший спосіб, що дає, як правило, менш ефективні оцінки, але зазвичай більш простий при обчисленнях, є метод моментів. Сутність цього способу полягає в тому, що теоретично визначені моменти випадкових величин, які залежать від оцінюваємих параметрів, прирівнюються статичним значенням цих моментів.

Обравши достатню кількість перших моментів, таким чином, можна отримати необхідні рівняння для визначення шуканої кількості параметрів розподілу випадкових величин.

Залежно від того, яким чином пов’язана оцінка з реалізаціями випадкових величин (ординатами реалізацій випадкової функції), оцінки поділяються на лінійні і нелінійні. Зрозуміло, що найбільш ефективна оцінка не обов’язково повинна бути лінійною. Тому, якщо з самого початку обмежитися вивченням лінійних оцінок, тоді найбільш ефективні не обов’язково будуть мати найменшу дисперсію з усіх можливих оцінок.

Разом з тим, лінійні оцінки, зазвичай, дозволяють отримати більш прості розрахункові формули, чому знайшли певною мірою широке застосування на практиці. Нарешті, за зручної нагоди дозволяють одержати найбільш ефективні оцінки.

В подальшому будемо мати справу лише з лінійними оцінками.

Окрім визначення оцінок параметрів (і функцій), на меті обробки статистичного матеріалу іноді постає перевірка різних гіпотез, наприклад, закону розподілу, ступеня впливу різних чинників на результат експерименту і таке інше.

Принципи обробки матеріалу, які застосовуються при вирішенні окреслених задач, добре апробовані в математичній статистиці стосовно наявної послідовності незалежних реалізацій випадкової величини (виборки з генеральної сукупності об’єму )

(1)

Ці принципи уживані і при обробці реалізацій випадкових функцій. Разом з тим, безпосереднє перенесення формул, що одержані для випадкових величин, на обробку реалізацій випадкових функцій, наражається на ряд труднощів.

По-перше, тут відсутня сукупність незалежних реалізацій випадкових величин, а більшість висновків, до речі, зроблені в математичній статистиці саме для незалежних виборок.

По-друге, в багатьох формулах математичної статистики (наприклад, в формулах для надійних вірогідностей, в різних критеріях згоди і т.п.) явно входить об’єм виборки . При обробці реалізацій випадкових функцій такої величини не існує, бо в цьому випадку “об’єм виборки” визначається довжиною інтервалу часу Т, за який записана реалізація. Тому належить отримати відповідні формули, безпосередньо для цього вжитку, або наближено користуватися формулами для випадкових величин попередньо замінивши в них об’єм виборки деякою іншою величиною, яка б враховувала специфіку обробки даного статистичного матеріалу.

Тема 1.2. Загальні принципи визначення оцінок. Сукупні оцінки, незсуненість, порівняльна ефективність

Оглянемо спочатку шляхи знаходження оцінки математичного очікування випадкової функції . Припущень щодо стаціонарності процесу поки що робити не… Отже, нехай отримано реалізацій випадкової функції однакової тривалості у…

Тема 1.3. Розрахункові моделі

Відповідно до формули (20), оцінка математичного очікування має вигляд [1,…

РОЗДІЛ 2

ОЦІНКА КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ

Тема 2.1. Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу

(31) і для знаходження оцінки слід виходити з тих же міркувань, які були… Припускаємо, як і раніше, що існує в наявності реалізацій випадкової функції однакової тривалості [1, 2]. Вважаємо…

Тема 2.2. Аналітична апроксимація експериментальної кореляційної функції

Апроксимуючий вираз може бути знайденим звичайними методами наближення функцій з будь-якою точністю. В той же час, велика точність наближення до… Наприклад, якщо випадкова функція, характеристики якої з’ясовуються з… Навпаки, якщо виникає потреба по знайденій кореляційній функції винайти кореляційну функцію похідної вивчаємого…

Тема 2.3. Розрахункові моделі

. Тоді, для визначення сталих і можна поставити вимогу обов’язкового співпадання… ; (61)

РОЗДІЛ 3

ОЦІНКА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩІЛЬНОСТІ

Тема 3.1. Визначення спектральної щільності за попередньо обчисленою кореляційною функцією

Розглянемо більш ретельно кожний із наведених способів з метою виявлення більш ефективного. Якщо оцінка спектральної щільності визначається за попередньо обчисленою… Перший шлях є найбільш практичним на той випадок, коли, виходячи із загальних міркувань, вид кореляційної функції не…

Тема 3.2. Безпосереднє застосування перетворення Фур’є

Наведемо випадкову функцію у вигляді обмеженого відрізку ряда Фур’є - (74) де і - випадкові величини з однаковою дисперсією та нульовими математичними очікуваннями.

Тема 3.3. Види оцінок спектральної щільності

Реалізація в цих умовах має вигляд досить повільно змінної кривої, на яку накладаються високочастотні коливання (рис. 2). Такі явища досить часто… Пряме використання формули (86) не дозволяє за цих умов отримати оцінку , яка…

РОЗДІЛ 4

ОЦІНКА ЗАКОНА РОЗПОДІЛУ ОРДИНАТ СТАЦІОНАРНОГО ПРОЦЕСУ

Тема 4.1. Незсуненість і обгрунтованості оцінки розподілу ординат

На графіку, який відтворює реалізацію , проведена пряма, що паралельна до осі і знаходиться на відстані (рис. 3). За оцінку функції розподілу,… (87) де час го викиду за рівень , а додавання проводиться за усіма викидами, які мали місце за час [1].

Тема 4.2. Гістограма

Ці принципи, в певній мірі, вживаються і при обробці реалізацій випадкових… Надамо окремі практичні рекомендації для вирішення більш складних задач.

Тема 4.3. Критерій узгодженості Пірсона

Тема 4.4. Приклади обчислення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу

Між кореляційною функцією і спектральною щільністю існує відоме співвідношення , (106) яке свідчить, що задання спектральної щільності еквівалентно задаванню кореляційної функції. Перетворивши цей вираз за…

Перелік літературних джерел

1. Мельник В.М., Карачун В.В. Шуми і вібрація. Збурюючі чинники та їх характеристики: Навч. посібник. – К.: Техніка, 2008. – 352 с.; іл.., Бібіліогр.: с. 350.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник. – М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1962. – 564 с.

3. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968. – 463 с.

4. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука, 1971. – 239 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1961. – 317 с.

6. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. – М.: Физматгиз, 1960. – 407 с.