Тема 1.2. Загальні принципи визначення оцінок. Сукупні оцінки, незсуненість, порівняльна ефективність

Не ставлячи перед собою за мету огляд усіх досягнень в цій галузі знань, розглянемо тільки основні задачі обробки реалізацій випадкових функцій і дамо окремі практичні рекомендації для розв’язання більш складних задач, які базуються на висновках спеціальних курсів з теорії імовірностей.

Оглянемо спочатку шляхи знаходження оцінки математичного очікування випадкової функції . Припущень щодо стаціонарності процесу поки що робити не будемо.

Отже, нехай отримано реалізацій випадкової функції однакової тривалості у часі, котрі схематично зображені на рис. 1. Оберемо в інтервалі , на якому здійснено запис реалізацій , довільний момент часу . Ординати реалізацій для нього позначимо

і надалі будемо вважати як знайдені з експерименту значення випадкової величини , оцінка математичного очікування якої визначається за формулою

(2)

Обчислюючи математичне очікування обох частин останньої рівності, та приймаючи до уваги, що для будь-якої реалізації отримуємо -

(3)

тобто, формула (2) дає незсунену оцінку для математичного очікування випадкової функції [2, 3].

Знаходячи дисперсію обох частин рівності (2) і приймаючи до уваги, що в правій частині тут знаходиться сума незалежних випадкових величин, які мають однакову дисперсію , отримуємо -

(4)

Таким чином, оцінка (2) являє собою не тільки незсунену, але і обґрунтовану величину, тому що

(5)

має місце за будь-якого значення . Питання про ефективність оцінки (2) потребує окремого вивчення.

Дійсно, якщо оцінка обчислена для ряду значень з інтервалу , тоді можна вважати, що весь хід функції взагалі може бути використаний для згладжування випадкових похибок, що з’являються при обробці реалізацій випадкової величини . Справді, припустимо, наприклад, що Тоді, очевидно, можна сподіватися на уточнення оцінки математичного очікування шляхом осереднення у часі отриманих значень .

Таким чином, якщо заздалегідь відомі деякі загальні властивості оцінюваємого математичного очікування , тоді можна прийняти, замість оцінки, яка містить тільки значення ординат реалізацій випадкової функції в один і той же момент часу, оцінку, що зважає хід зміни у часі всіх реалізацій і яка повинна бути більш ефективною, ніж оцінка (2).

Перейдемо до розгляду стаціонарних випадкових функцій. Головна особливість тут полягає в тому, що при обробці стаціонарних функцій, як правило, приходиться мати справу не з великою кількістю реалізацій, отриманих за відносно малий проміжок часу, а з декількома (або, навіть, з однією реалізацією), але записаними за досить протяжний інтервал часу. Таким чином, при вивченні наявного матеріалу доводиться замість осереднення ординат випадкових функцій, отриманих в однакові моменти часу для різних реалізацій, проводити осереднення ординат для однієї і тієї ж реалізації, визначених для різних моментів часу. Спроможність подібного способу дії припустима за умови, що зв’язок між ординатами випадкової функції в різні моменти часу зменшується досить швидко. Тільки за цієї умови одну реалізацію у часі можна наближено розглядати як сукупність декількох незалежних реалізацій і, таким чином, зникає відмінність між цими двома способами осереднення.

Окреслимо кількісні ознаки, яким повинна відповідати випадкова функція, аби замість осереднення за реалізаціями можна було б проводити осереднення у часі. Для цього розіб’ємо інтервал часу , на якому задана реалізація, на рівних елементарних інтервалів тривалістю кожний.

Якщо осереднення у часі припустиме, тоді за оцінку математичного очікування слід прийняти вираз

(6)

Перетворимо дещо цю рівність. Для цього від суми за дискретним значенням часу перейдемо до інтегрування за змінною . Помноживши і поділивши праву частину виразу (6) на , отримаємо -

(7)

Спрямувавши до нуля інтервал , зазначаємо, що сума справа перетворюється в інтеграл, тобто

(8)

З’ясуємо, за яких умов співвідношення (8) можна вважати за незсунену оцінку математичного очікування.

Щоб довести незсуненість оцінки досить застосувати операцію математичного очікування до обох частин виразу (8), після чого скористуватися правилом комутативності операції математичного очікування і операції інтегрування. Здійснивши це, отримуємо наступне:

(9)

Математичне очікування ординати реалізації випадкової функції внаслідок наперед обумовленої стаціонарності процесу буде величиною сталою, винесши яку за знак інтеграла, виразу (9) надамо вигляду –

(10)

Отже, математичне очікування оцінки (8) завжди дорівнює математичному очікуванню випадкової функції і для виконання умови незсуненості не має потреби в наявності додаткових властивостей випадкової функції, окрім її стаціонарності.

Інша справа з вимогою обгрунтованості оцінки. Для того, щоб оцінка (8) була обґрунтованою, на кореляційну функцію процесу необхідно накласти додаткові обмеження.

Дійсно, завдяки тому, що , згідно з формулою (8), визначається з ординат випадкової функції (її реалізацій) шляхом використання лінійної операції інтегрування і множення на , то, спираючися на формулу для дисперсії стаціонарної функції

,

одержуємо:

(11)

Якщо з ростом буде прямувати до нуля, тоді оцінка стане слушною.

Вираз (11) при буде прямувати до нуля за умови зростання інтеграла

не швидше, ніж , де .

Для виконання цієї умови, взагалі кажучи, вимога не постає обов’язковою.

Дійсно, якщо, наприклад,

(12)

тоді не прямує до нуля з ростом , однак

(13)

і величина (9) буде прямувати до нуля з ростом як .

Однак, зазвичай,

(14)

бо кореляційний зв’язок між ординатами випадкової функції спадає по мірі збільшення інтервалу між ординатами.

Щоб мати можливість для використання процедури осереднення у часі ординат однієї реалізації випадкової функції, достатньо реалізувати вимогу, щоб інтеграл від кореляційної функції, узятий в межах , був скінченним, тобто

(15)

бо в цьому випадку буде скінченним, і дисперсія (11) буде прямувати до нуля з ростом , тобто

(16)

Стаціонарні випадкові функції, для яких осереднення по реалізаціям можна замінити осередненням у часі, іменуються ергодичними випадковими функціями, а доведена вище властивість про умови, які забезпечують ергодичність функції, постає ергодичною в широкому розумінні.

Отже, у практично цікавих випадках, оцінка математичного очікування (10) виявляється незсуненою і слушною.

Можна довести, між іншим, що коли немає ніяких додаткових відомостей про властивості випадкової функції (окрім її стаціонарності), тоді ця оцінка є і найбільш ефективною з усіх лінійних оцінок, тобто оцінок типу

(17)

де певна вагова функція. Тобто, найменша дисперсія у стане тільки тоді, коли .

Отже, оцінка математичного очікування , знайдена з реалізації , згідно з формули (10), буде мати вигляд –

(18)

Оцінка , з урахуванням всіх реалізацій, визначається шляхом осереднення за усіма реалізаціями. Внаслідок того, що ці оцінки, згідно з виразом (11), мають при різних різні дисперсії

(19)

осереднення треба вести за правилом осереднення нерівноточних величин, тобто за формулою

(20)

Дисперсія отриманої таким чином оцінки окреслюється виразом

(21)

В поодиноких випадках, коли усі дисперсії будуть однаковими (припустимо їх рівними ) і замість співвідношень (20) та (21) з’являються більш прості вирази –

; (22)

. (23)

Як походить з формул (11) та (19), для визначення дисперсії оцінок математичного очікування слід наперед знати кореляційну функцію вивчаємого процесу Х(t), хоча, зазвичай, вона невідома. Останніми співвідношеннями доречно користуватися після заміни в них невідомої кореляційної функції її оцінкою.

Буває, що не вдається отримати неперервну реалізацію х(t) випадкового процесу і належить мати справу із сукупністю значень ординат реалізацій процесу, що одержані в дискретні моменти часу. Тут і виникає проблема вибору рівня дискретності без нанесення шкоди вимогам точності шуканої оцінки.

Стосовно знаходження оцінки математичного очікування, то питання зводиться до обрання такого максимального значення , за якого формула (7) буде давати ту ж саму точність, що і формула (8). Визначаючи для цієї умови дисперсію оцінки , яка обчислюється за формулою (7), після нескладних перетворень отримуємо:

. (24)

Порівнюючи тепер цей вираз з дисперсією величини за формулою (11) для неперервної реалізації, приходимо висновку, що вираз (24) відтворює наближене значення інтегралу, одержаного з формули (11) заміною на і обчисленого за методом трапецій.

Ця обставина дозволяє використовувати формули для залишкового члена при чисельному інтегруванні з метою з’ясування можливої зміни дисперсії оцінки математичного очікування внаслідок вивчення дискретної кількості ординат замість неперервної реалізації.

Як відомо, похибка формули трапецій при інтегруванні функції з кроком для ординат має вигляд:

, (25)

де знаходиться в інтервалі [0; 1].

Застосувавши цю формулу для нашого випадку, маємо:

(26)

Припустимо, що інтервал обраний достатньо малим. Тоді суму у формулі (26) можна розглядати як наближене значення інтеграла від функції

,

Обчисленого за методом прямокутників, тобто наближено можна вважати, що

(27)

Праву частину, розклавши по степеням , і залишивши тільки лінійні та квадратичні складові, перетворимо:

, (28)

де

Формула (28) являє собою поліном другого степеня відносно величини , тому за умови, що

, (29)

вираз (28) набуває мінімального значення

(30)

За досить великого значення , знак співвідношення (29) визначається знаком чисельника. Тому, якщо , тоді стає можливим обрання кроку дискретності , за якого , відповідно до формули (30), буде від’ємним. Таким чином, дисперсія оцінки при використанні дискретного числа ординат за формулою (7), буде меншою ніж дисперсія оцінки (8), яка враховувала увесь графік реалізації .

Формула (30) доводить, що виграш в ефективності оцінки при обранні оптимального кроку дискретності зменшується з ростом протяжності реалізації.

З огляду на зазначене, в практиці зазвичай користуються формулою (8), бо вона не потребує попередньої оцінки нормованої кореляційної функції , необхідної для визначення .