Тема 4.2. Гістограма

Принципи обробки експериментального матеріалу досить грунтовно відпрацьовані в математичній статистиці стосовно до послідовностей незалежних реалізацій випадкової величини (вибірка з генеральної сукупності об`єму п)

Ці принципи, в певній мірі, вживаються і при обробці реалізацій випадкових функцій. Однак, безпосереднє перенесення формул для випадкових величин на обробку реалізацій випадкових функцій, наражається на цілий ряд перепон. По-перше, не існує наявної сукупності незалежних реалізацій випадкових величин, в той час, коли більшість висновків, які одержані в математичній статистиці, підпорядковані незалежним виборкам. По-друге, в достатній кількості формул математичної статистики в явній формі присутній об`єм виборки п. Нарешті, при обробці реалізацій випадкових функцій подібного параметру не існує, бо об`єм виборки визначається довжиною інтервалу часу Т, за який здійснена реалізація. Тому доводиться отримувати відповідні формули безпосередньо до обробки випадкових функцій, або наближено користуватися формулами для випадкових величин, замінивши в них об`єм виборки п деякою іншою величиною, яка б враховувала специфіку вивчаємого статистичного матеріалу [1, 2].

Надамо окремі практичні рекомендації для вирішення більш складних задач.

Розглянемо задачу визначення оцінки математичного очікування випадкової функції Х(t), поки що без припущення стаціонарності процесу.

Отже, ввжаємо, що одержані п реалізацій однакової тривалості Т випадкової функції (рис.4).

Рис.4.

Оберемо в інтервалі часу [0, Т], в якому наведені реалізації , довільні моменти часу із кроком дискретності t=1, t=2, t=0,5. Ординати реалізацій, наприклад, при обраній величині кроку дискретності 1, набувають вигляду

Їх можна вважати за випадкові величини Х(t), які знайдені в результаті певного експерименту.

Таблиця 1

Крок дискретності t=1

Перетин	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	∑xi/10
	0,97	0,93	0,91	0,85	0,84	0,82	0,80	0,74	0,72	0,69	0,83
	0,94	0,93	0,88	0,90	0,87	0,79	0,81	0,79	0,71	0,72	0,83
	0,92	0,96	0,78	0,90	0,87	0,75	0,72	0,79	0,67	0,81	0,82
	0,82	1,00	0,71	0,83	0,86	0,77	0,74	0,82	0,68	0,92	0,82
	0,76	0,98	0,73	0,88	0,84	0,81	0,78	0,91	0,68	0,94	0,83
	0,74	0,95	0,76	0,91	0,88	0,80	0,79	0,83	0,74	0,93	0,83
	0,73	1,00	0,78	0,94	0,89	0,81	0,72	0,85	0,88	1,02	0,86
	0,80	0,80	0,83	0,80	0,95	0,83	0,76	0,89	0,86	0,90	0,84
	0,76	0,94	0,79	1,00	0,94	0,79	0,84	0,89	0,87	0,92	0,87
	0,73	0,96	0,81	0,97	0,89	0,81	0,78	0,89	0,85	0,92	0,86
	0,91	0,95	0,80	0,99	0,95	0,83	0,76	1,11	0,86	0,93	0,91
	0,86	0,94	0,80	1,00	0,97	0,82	0,78	1,06	0,72	0,91	0,89
	0,81	0,89	0,89	1,04	0,99	0,85	0,78	0,96	0,78	0,93	0,89
	0,80	0,86	1,03	1,11	0,99	0,83	0,78	0,92	0,90	0,96	0,92

 

Таблиця 2

Крок дискретності t=2

Перетин	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	∑xi/10
	0,97	0,93	0,91	0,85	0,84	0,82	0,80	0,74	0,72	0,69	0,83
	0,92	0,96	0,78	0,90	0,87	0,75	0,72	0,79	0,67	0,81	0,82
	0,76	0,98	0,73	0,88	0,84	0,81	0,78	0,91	0,68	0,94	0,83
	0,73	1,00	0,78	0,94	0,89	0,81	0,72	0,85	0,88	1,02	0,86
	0,76	0,94	0,79	1,00	0,94	0,79	0,84	0,89	0,87	0,92	0,87
	0,91	0,95	0,80	0,99	0,95	0,83	0,76	1,11	0,86	0,93	0,91
	0,81	0,89	0,89	1,04	0,99	0,85	0,78	0,96	0,78	0,93	0,89
	0,80	0,86	1,03	1,11	0,99	0,83	0,78	0,92	0,90	0,96	0,92

Таблиця 3

Крок дискретності t=0,5

Перетин	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	∑xi/10
	0,97	0,93	0,91	0,85	0,84	0,82	0,80	0,74	0,72	0,69	0,83
0,5	0,98	0,93	0,90	0,90	0,85	0,84	0,81	0,77	0,73	0,71	0,84
	0,94	0,93	0,88	0,90	0,87	0,79	0,81	0,79	0,71	0,72	0,83
1,5	0,92	0,94	0,83	0,90	0,86	0,74	0,78	0,83	0,69	0,77	0,83
	0,92	0,96	0,78	0,90	0,87	0,75	0,72	0,79	0,67	0,81	0,82
2,5	0,83	0,94	0,73	0,89	0,92	0,76	0,70	0,80	0,67	0,83	0,81
	0,82	1,00	0,71	0,83	0,86	0,77	0,74	0,82	0,68	0,92	0,82
3,5	0,75	0,99	0,72	0,88	0,85	0,80	0,78	0,90	0,68	0,94	0,83
	0,76	0,98	0,73	0,88	0,84	0,81	0,78	0,91	0,68	0,94	0,83
4,5	0,78	0,97	0,76	0,90	0,85	0,81	0,79	0,84	0,70	0,93	0,83
	0,74	0,95	0,76	0,91	0,88	0,80	0,79	0,83	0,74	0,93	0,83
5,5	0,73	0,94	0,77	0,91	0,89	0,80	0,73	0,86	0,84	0,94	0,84
	0,73	1,00	0,78	0,94	0,89	0,81	0,72	0,85	0,88	1,02	0,86
6,5	0,77	0,99	0,80	0,95	0,93	0,81	0,74	0,84	0,86	0,91	0,86
	0,80	0,80	0,83	0,80	0,95	0,83	0,76	0,89	0,86	0,90	0,84
7,5	0,78	0,93	0,84	0,99	0,96	0,83	0,77	0,93	0,88	0,91	0,88
	0,76	0,94	0,79	1,00	0,94	0,79	0,84	0,89	0,87	0,92	0,87
8,5	0,74	1,03	0,82	1,01	0,92	0,71	0,71	0,89	0,85	0,92	0,86
	0,73	0,96	0,81	0,97	0,89	0,81	0,78	0,89	0,85	0,92	0,86
9,5	0,80	0,95	0,80	1,00	0,90	0,83	0,77	1,00	0,86	0,92	0,88
	0,91	0,95	0,80	0,99	0,95	0,83	0,76	1,11	0,86	0,93	0,91
10,5	0,88	0,97	0,80	1,00	0,98	0,83	0,78	1,08	0,75	0,94	0,90
	0,86	0,94	0,80	1,00	0,97	0,82	0,78	1,06	0,72	0,91	0,89
11,5	0,84	0,92	0,80	1,01	0,98	0,84	0,77	1,08	0,72	0,92	0,89
	0,81	0,89	0,89	1,04	0,99	0,85	0,78	0,96	0,78	0,93	0,89
12,5	0,81	0,88	0,98	1,08	1,00	0,84	0,78	0,96	0,88	0,93	0,91
	0,80	0,86	1,03	1,11	0,99	0,83	0,78	0,92	0,90	0,96	0,92

 

Оцінка математичного очікування для кожного перетину на рис.4 випадкової функції обчислюється за формулою –

Для нашого випадку, за кроку дискретності 1, вона набуває вигляду:

або так:

,

Ординати реалізацій в цей момент часу

можна сприймати як визначені з експерименту значення випадкової величини Х(t), оцінка математичного очікування для якої обчислюється за формулою:

(98)

Виконуючи процедуру математичного очікування для обох частин формули (98), та приймаючи до уваги, що за будь-якого реалізації , отримуємо

(99)

тобто формула (98) дає незсунену оцінку для математичного очікування випадкової функції.

Рис.5

В той же час, знаходячи дисперсію обох частин рівності (98) з урахуванням, що справа міститься сума незалежних випадкових величин, які мають однакову дисперсію отримуємо –

(100)

Отже, оцінка (1) являється не тільки незсуненою, але і обгрунтованою, бо

(101)

Розглянемо стаціонарні, в широкому розумінні, випадкові функції. За цих обставин, головною особливістю постає той факт, що при обробці реалізацій стаціонарних функцій приходиться мати справу не з певною кількістю реалізацій, а з однією, але надто тривалою у часі [3].

При обробці експерементального матеріалу, таким чином, замість осереднення ординат випадкових функцій, які одержані в однакові моменти часу для різних реалізацій, слід здійснювати осереднення ординат однієї тієї ж реалізації, одержаних для різних моментів часу. Щоб ця процедура була припустимою, необхідно щоб зв'язок між ординатами випадкової функції для довільних моментів часу спадав досить швидко, бо тільки за цієї умови одна реалізація може наближено розглядатися як сукупність декількох незалежних реалізацій. В такому разі різниця між цими двома способами осереднення щезне.

З’ясуємо кількісні ознаки, яким повинна задовольняти випадкова функція для відповідності такої заміні. Розіб’ємо весь інтервал часу [0,Т], на якому задана, наприклад, реалізація “1”, на m рівних елементарних інтервалів довжиною .

Рис. 6.

Якщо осереднення у часі припустиме, тоді за оцінку математичного очікування слід прийняти вираз:

(102)

 

Таблиця 4

Кількість замірів m=14

хі	0,97	0,94	0,92	0,82	0,76	0,74	0,73	0,8	0,76	0,73	0,91

 

0,86	0,81	0,8	0,83

 

Таблиця 5

Кількість замірів m=7

хі	0,97	0,92	0,76	0,73	0,76	0,91	0,81	0,8	0,89

 

Таблиця 6

Кількість замірів m=28

		0,5		1,5		2,5		3,5		4,5		5,5		6,5
хі	0,97	0,98	0,94	0,92	0,92	0,83	0,82	0,75	0,76	0,78	0,74	0,73	0,73	0,77

 

		7,5		8,5		9,5		10,5		11,5		12,5
хі	0,8	0,78	0,8	0,74	0,73	0,8	0,91	0,88	0,86	0,84	0,81	0,81	0,8	0,827

 

Графіки оцінок наведено на рис. 7.

Рис. 7

Порівняльний аналіз оцінок , які зображені на рис. 5, доводить, що при m=1 та m=0,5 має місце найкраще співпадання оцінок.

Перетворимо вираз (102) замінивши підсумовування дискретних значень у часі операцією інтегрування у часі t. Помножимо і поділимо на Δ праву частину виразу (102):

(103)

Спрямувавши інтервал Δ до нуля, помічаємо, що сума перетворюється на інтеграл і вираз (103) змінюється:

(104)

Статистичний ряд. Гістограма. Якщо кількість виборки на кожному перетині досить велика, тоді проста статистична сукупність перестає бути зручною формою запису статистичного матеріалу – вона стає надто громіздкою і одночасно недостатньо наочною. Для надання їй більшої компактності і наочності вибудовується так званий статистичний ряд.

Припустимо, що має місце результат спостережень над неперервною випадковою величиною Х у вигляді простої статистичної сукупності, наприклад, табл. 3. Поділимо весь діапазон значень 0,69..0,99 на інтервали (розряди) і підрахуємо кількість значень , що приходиться на кожний і-тий інтервал. Нехай це буде інтервал 0,05 (табл. 7), або інтервал 0,10 (табл.8).

 

 

Таблиця 7

Інтервал 0,05

	0,69;0,74	0,74;0,79	0,79;0,84	0,84;0,89	0,89;0,94	0,94;0,99
	2,5	0,5	2,5	1,5
	0,25	0,05	0,25	0,15	0,2	0,1

Таблиця 8

Інтервал 0,10

	0,69; 0,79	0,79; 0,89	0,89; 0,99
	0,3	0,4	0,3

 

Підрахуємо кількість значень , що приходяться на цей розряд. Тут незмінно виникає питання, до якого розряду віднести значення, що знаходяться на межі двох розрядів. У цих випадках можна рекомендувати умовно вважати дане значення таким, що належить до обох розрядів і додавати до числа попередного и наступного розряду величину 0,5.

Отже, для інтервалу 0,05 наведені значення (табл. 7). Для інтервалу 0,10 значення наведені в табл. 8. Тепер рядки табл. 7 , табл. 8 поділимо на загальну кількість значень на перетині «О», тобто на 10, і, таким чином, знайдемо частоту , яка відповідає даному розряду (табл. 7, табл. 8):

. (105)

Сума частот усіх розрядів, очевидно, повинна дорівнювати одиниці.

Табл.7 і табл.8 іменуються статистичним рядом.

Кількість рядів не повинна бути надмірно великою, бо за цих обставин ряд розподілу стає маловиразним і частоти виявляють в ньому

незакономірні відхилення.

Статичний ряд часто оформлюють графічно у вигляді гістограми, яка будується наступним чином. Частоту кожного розряду треба поділити на його довжину і взяти цю величину () за висоту прямокутника.

З процедури побудови гістограми походить, що її загальна площа дорівнює одиниці. З’єднуючи отримані точки плавною кривою, отримуємо наближений графік статистичної функції розподілу (рис. 8, рис. 9). Очевидно, що у другому випадку величина розрядів обрана більш оптимально.

Рис. 8

 

Рис. 9