рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тема 4.4. Приклади обчислення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу

Тема 4.4. Приклади обчислення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу - раздел Математика, Загальні принципи визначення оцінок. Оцінка математичного очікування   Між Кореляційною Функцією І Спектральною Щільністю Існує Відо...

 

Між кореляційною функцією і спектральною щільністю існує відоме співвідношення

, (106)

яке свідчить, що задання спектральної щільності еквівалентно задаванню кореляційної функції. Перетворивши цей вираз за Фур’є, отримуємо

. (107)

Отже слушним є і зворотнє твердження.

Парність функцій і дозволяє звільнитися від комплексного запису у формулах (106), (107):

;

.

Якщо у формулі (106) прийняти , тоді

, (108)

тобто дисперсія стаціонарної випадкової функції дорівнює площі під кривою спектральної щільності.

Наразі перелічимо головні властивості спектральної щільності:

− спектральна щільність не може мати від’ємних ординат, тобто за довільних значень ;

− з ростом абсолютного значення спектральна щільність стрімко

прямує до нуля, так що ;

− для дійсних випадкових процесів спектральна щільність є парною функцією, тобто ;

− спектральна щільність зв’язана з кореляційною функцією співвідношеннями

; ,

причому частковим від останнього постає дисперсія випадкового процесу, тобто

.

Приклад 1. Кореляційна функція задана виразом

(109)

де – дисперсія випадкової функції; – коефіцієнт, який характеризує швидкість спадання кореляційного зв’язку між ординатами випадкової функції при збільшенні різниці аргументів цих ординат.

Згідно виразу (107), отримуємо

. (110)

Приймаючи до уваги, що за додатніх значень і за відємних значень , інтеграл (109) можна розбити на суму двох інтегралів за додатніми і від’ємними значеннями . Отже –

(111)

Із збільшенням величини коефіцієнта швидкість спадання ординат функції росте. Разом з тим, зменшується початкова ордината . Але площа під кривою завжди дорівнює , тому функція буде притискатися до осі перетворюючися на більш положисту (рис. 10, а, б):

Така поведінка функції дозволяє ввести поняття “білого шуму”, тобто випадкової функції із сталою спектральною щільністю. Дійсно, якщо нескінченно збільшується, графік приймає пікоподібну форму (рис. 10, а). Навпаки, графік на досить широкому проміжку буде сталим (рис. 10, б):

. (112)

Поставимо вимогу, щоб при вираз (111) залишався сталим. Доведемо, що в цьому випадку кореляційна функція процесу стає пропорційною дельт- функції Дірака. Дійсно, інтегруючи вираз (109) по від до і визначаючи границю, маємо:

. (113)

Отже,

. (114)

Це стає можливим тільки за умови, коли

.

Таким чином, при білому шумі функції притаманні всі властивості дельта-функції і можна записати

. (115)

Процеси, схожі цьому, іменують “білим шумом” з тієї причини, що слово

“білий” підкреслю\ їх схожість із білим світлом, спектральний склад якого однорідний, в свою чергу, термін“шум” прийшов з радіотехніки.

а) б)

Рис. 10

Приклад 2. Кореляційна функція має вигляд

(116)

Обчислити спектральну щільність .

Здійснимо заміну

і використаємо формулу (107):

.

(117)

Проведемо заміну в цьому виразі – на і на , тоді отримаємо:

(118)

Приклад 3. Кореляційна функція має вигляд

(119)

Обчислити спектральну щільність .

Здійснивши заміну тригонометричної функції отримуємо:

(120)

Замінивши на та на , маємо:

(121)

Приклад 4. Кореляційна функція має вигляд

(122)

Обчислити спектральну щільність .

Як і в попередньому, наведемо через експоненти

і надалі скористаємося формулою (107):

. (123)

Питання для самоконтролю:

1. Поясніть зміст поняття реалізації функцій.

2. Суть методу осереднення у часі.

3. Суть методу осереднення за множиною.

4. Чим відрізняються оцінки від імовірнісних характеристик.

5. Як визначити і що дає для практичної обробки результатів експерименту поняття стаціонарності.

6. Гістограма, як будується і корегується форма.

7. Як обрати оптимальний крок дискретності при обробці реалізацій.

8. Незсуненість характеристик, обгрунтованість та ефективність.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Загальні принципи визначення оцінок. Оцінка математичного очікування

Розділ Загальні принципи визначення оцінок оцінка математичного.. розділ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 4.4. Приклади обчислення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Тема 1.2. Загальні принципи визначення оцінок. Сукупні оцінки, незсуненість, порівняльна ефективність
Не ставлячи перед собою за мету огляд усіх досягнень в цій галузі знань, розглянемо тільки основні задачі обробки реалізацій випадкових функцій і дамо окремі практичні рекомендації для розв’язання

Тема 1.3. Розрахункові моделі
Приклад 1. Визначити дисперсію оцінки математичного очікування стаціонарної випадкової функції у складі трьох незалежних реалізацій протяжності

Тема 2.1. Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу
Перейдемо до знаходження оцінки кореляційної функції не обумовлюючи спочатку припущення стосовно наявної стаціонарності процесу. Тоді, за означенням,

Тема 2.2. Аналітична апроксимація експериментальної кореляційної функції
Після визначення достатньої кількості ординат функції та побудови її графіка зазвичай виникає необхідність в апроксимації кореляційної функц

Тема 2.3. Розрахункові моделі
Приклад 1. Припустимо, що в результаті аналітичної обробки реалізацій випадкового процесу та виходячи з особливостей фізичної природи явища, апроксимацію оцінки кореляційної функції

Тема 3.1. Визначення спектральної щільності за попередньо обчисленою кореляційною функцією
Для визначення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу за його реалізацією, можна або спочатку визначити оцінку кореляційної функції вже викладеним способом і знайти її перетворенн

Тема 3.2. Безпосереднє застосування перетворення Фур’є
Необгрунтованість цієї оцінки пов’язана з тим, що тут визначається не чисельний параметр, який характеризує спектральну щільність , а

Тема 3.3. Види оцінок спектральної щільності
Підсумовуючи, відзначимо деякі особливості визначення оцінки спектральної щільності за наявності чітко окреслених максимумів на різних діапа

Тема 4.1. Незсуненість і обгрунтованості оцінки розподілу ординат
Припустимо, що існує в наявності реалізація стаціонарного процесу тривалості . Оцін

Тема 4.2. Гістограма
Принципи обробки експериментального матеріалу досить грунтовно відпрацьовані в математичній статистиці стосовно до послідовностей незалежних реалізацій випадкової величини (вибірка з генеральної су

Тема 4.3. Критерій узгодженості Пірсона
Після обчислення оцінки , звичайно постає задача порівняння відповідності отриманого виразу деякій теоретичній функції розподілу

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги