Тема 4.4. Приклади обчислення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу

 

Між кореляційною функцією і спектральною щільністю існує відоме співвідношення

, (106)

яке свідчить, що задання спектральної щільності еквівалентно задаванню кореляційної функції. Перетворивши цей вираз за Фур’є, отримуємо

. (107)

Отже слушним є і зворотнє твердження.

Парність функцій і дозволяє звільнитися від комплексного запису у формулах (106), (107):

;

.

Якщо у формулі (106) прийняти , тоді

, (108)

тобто дисперсія стаціонарної випадкової функції дорівнює площі під кривою спектральної щільності.

Наразі перелічимо головні властивості спектральної щільності:

− спектральна щільність не може мати від’ємних ординат, тобто за довільних значень ;

− з ростом абсолютного значення спектральна щільність стрімко

прямує до нуля, так що ;

− для дійсних випадкових процесів спектральна щільність є парною функцією, тобто ;

− спектральна щільність зв’язана з кореляційною функцією співвідношеннями

; ,

причому частковим від останнього постає дисперсія випадкового процесу, тобто

.

Приклад 1. Кореляційна функція задана виразом

(109)

де – дисперсія випадкової функції; – коефіцієнт, який характеризує швидкість спадання кореляційного зв’язку між ординатами випадкової функції при збільшенні різниці аргументів цих ординат.

Згідно виразу (107), отримуємо

. (110)

Приймаючи до уваги, що за додатніх значень і за відємних значень , інтеграл (109) можна розбити на суму двох інтегралів за додатніми і від’ємними значеннями . Отже –

(111)

Із збільшенням величини коефіцієнта швидкість спадання ординат функції росте. Разом з тим, зменшується початкова ордината . Але площа під кривою завжди дорівнює , тому функція буде притискатися до осі перетворюючися на більш положисту (рис. 10, а, б):

Така поведінка функції дозволяє ввести поняття “білого шуму”, тобто випадкової функції із сталою спектральною щільністю. Дійсно, якщо нескінченно збільшується, графік приймає пікоподібну форму (рис. 10, а). Навпаки, графік на досить широкому проміжку буде сталим (рис. 10, б):

. (112)

Поставимо вимогу, щоб при вираз (111) залишався сталим. Доведемо, що в цьому випадку кореляційна функція процесу стає пропорційною дельт- функції Дірака. Дійсно, інтегруючи вираз (109) по від до і визначаючи границю, маємо:

. (113)

Отже,

. (114)

Це стає можливим тільки за умови, коли

.

Таким чином, при білому шумі функції притаманні всі властивості дельта-функції і можна записати

. (115)

Процеси, схожі цьому, іменують “білим шумом” з тієї причини, що слово

“білий” підкреслю\ їх схожість із білим світлом, спектральний склад якого однорідний, в свою чергу, термін“шум” прийшов з радіотехніки.

а) б)

Рис. 10

Приклад 2. Кореляційна функція має вигляд

(116)

Обчислити спектральну щільність .

Здійснимо заміну

і використаємо формулу (107):

.

(117)

Проведемо заміну в цьому виразі – на і на , тоді отримаємо:

(118)

Приклад 3. Кореляційна функція має вигляд

(119)

Обчислити спектральну щільність .

Здійснивши заміну тригонометричної функції отримуємо:

(120)

Замінивши на та на , маємо:

(121)

Приклад 4. Кореляційна функція має вигляд

(122)

Обчислити спектральну щільність .

Як і в попередньому, наведемо через експоненти

і надалі скористаємося формулою (107):

. (123)

Питання для самоконтролю:

1. Поясніть зміст поняття реалізації функцій.

2. Суть методу осереднення у часі.

3. Суть методу осереднення за множиною.

4. Чим відрізняються оцінки від імовірнісних характеристик.

5. Як визначити і що дає для практичної обробки результатів експерименту поняття стаціонарності.

6. Гістограма, як будується і корегується форма.

7. Як обрати оптимальний крок дискретності при обробці реалізацій.

8. Незсуненість характеристик, обгрунтованість та ефективність.