Приклад 1. Визначити дисперсію оцінки математичного очікування стаціонарної випадкової функції у складі трьох незалежних реалізацій протяжності , якщо
Відповідно до формули (20), оцінка математичного очікування має вигляд [1, 3]:
де - оцінка математичного очікування j-ї реалізації; - дисперсія цієї оцінки.
Обчислюючи , після очевидних скорочень, одержуємо:
.
З огляду на формулу (11)
,
отримуємо
.
Приклад 2. Для реалізації протяжністю стаціонарного процесу знайти:
1) інтервал між ординатами реалізації, за якого оцінка (7) математичного очікування була б мінімальною;
2) на скільки відсотків дисперсія оцінки , обчислена за цієї протяжності реалізації по співвідношенню (8), буде більшою за дисперсію оцінки, знайденої за формулою (7) і крокові ;
3) найбільший крок дискретності за якого дисперсія оцінки (7) буде перевищувати не більше ніж на 5% дисперсію оцінки (8).
Прийняти за вихідне наступне:
.
Переходячи до безрозмірного часу , , та у відповідності до значень величини А і В, одержуємо:
;
.
Згідно співвідношення (29), маємо:
,
тобто, кількість ординат реалізації, яка дає оптимальну оцінку математичного очікування, складає
.
Дисперсія оцінки (8), відповідно до виразу (11), дорівнює:
.
Для відносного збільшення дисперсії при переході від оцінки (7) до оцінки (8), формула (30) дає:
.
Нарешті, при визначенні кроку дискретності , який би гарантував збільшення дисперсії не більше ніж на 5%, прирівнявши вираз (28) величині , отримуємо квадратне рівняння –
,
корінь якого становить , що означає
і вимагає наявності п’яти необхідних ординат.
Підрахунок дисперсії для дискретного числа ординат, виконаний відповідно до формули (24), дає наступну залежність від кількості урахованих координат , яка добре відповідає розрахункам, отриманим з наближених формул:
0,371 | 0,331 | 0,316 | 0,310 | 0,307 | 0,307 | 0,309 | 0,311 | 0,312 | |
20,0 | 7,5 | 2,8 | 0,9 | 0,6 | 1,2 | 1,6 |
Питання для самоконтролю:
1. Загальні принципи визначення оцінок.
2. Надійна оцінка
3. Ефективна оцінка
4. Обгрунтована оцінка
5. Незсунена оцінка