Тема 2.1. Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу

Перейдемо до знаходження оцінки кореляційної функції не обумовлюючи спочатку припущення стосовно наявної стаціонарності процесу. Тоді, за означенням,

(31)

і для знаходження оцінки слід виходити з тих же міркувань, які були сформульовані при знаходженні оцінки математичного очікування .

Припускаємо, як і раніше, що існує в наявності реалізацій випадкової функції однакової тривалості [1, 2]. Вважаємо також, що математичне очікування відоме.

Оберемо два довільних моменти часу і , які знаходяться усередині інтервалу . Ординати реалізацій у ці моменти часу можна розглядати як значення випадкових величин та , а вираз

(32)

тлумачити як значення випадкової величини, що стоїть під знаком математичного очікування у формулі (31). Таким чином, для знаходження оцінки кореляційної функції необхідно усередити вираз (32) за усіма реалізаціями. Таким чином, для оцінки одержуємо

(33)

В тому випадку, коли математичне очікування наперед невідоме, тоді замість математичного очікування випадкової функції, у виразі (33) треба взяти її оцінки за формулою (2) і прийняти

(34)

де, як завжди у схожих задачах, множник перед сумою заміняється на тільки для того, щоб оцінка була незсуненою.

Дійсно, обчислюючи математичне очікування обох частин рівностей (33) і (34), після простих перетворень маємо змоги пересвідчитися, що в обох випадках

(35)

Виразам (33) та (34) можна надати і трохи інший вигляд, якщо розкрити квадратні дужки і виконати нескладні перетворення. Тоді отримаємо:

при відомому математичному очікуванні –

; (36)

при наперед невідомому математичному очікуванні –

. (37)

Детальний аналіз точності оцінки певним чином ускладнюється через те, що у формулах (33) та (34) містяться суми добутків незалежних випадкових величин та . Однак обчислення дисперсії все ж таки може бути здійсненим і в цьому випадку. До речі, остаточний результат буде містити моменти ординат випадкової функції до четвертого порядку включно. Якщо являє собою нормально розподілений випадковий процес, тоді моменти більш високого порядку можуть бути визначені через кореляційну функцію і підсумкові формули, природно, спростяться.

Знання математичного очікування і кореляційної функції у більшості випадків дозволяє розв’язувати задачі, які зустрічаються у застосуваннях. Тому використанням формул (2) і (3), зазвичай, закінчується опрацьовування реалізацій нестаціонарних випадкових процесів.

Перейдемо до вивчення оцінки кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу.

Припустимо спочатку, що існує лише одна реалізація випадкової функції , яка зображена графічно в інтервалі , а її математичне очікування наперед відоме.

Виходячи з того, що

(38)

для визначення слушно скористатися вже отриманими результатами для оцінки математичного очікування стаціонарної функції, яка у даному випадку постає добутком

Застосовуючи загальну формулу (8) і зважаючи на те, що інтервал реалізації розглядаємої у даному випадку функції дорівнює , отримуємо –

(39)

Як доведено вище, оцінка (39) є незсуненою. Щоб, до того ж, переконатися в її обгрунтованості, необхідно з’ясувати, за яких умов має місце рівність

(40)

Для обчислення останньої дисперсії в загальному випадку недостатньо знати тільки кореляційну функціюпроцесу. Треба мати в наявності ще і моменти ординат цієї функції більш високого порядку. Для нормального процесу дисперсія може бути виражена через , як це буде доведено далі при визначенні дисперсії аналогічного виразу.

До формули (39) входить математичне очікування процесу. Отже, цією оцінкою можна користуватися тільки за умови, що наперед відоме.

Однак, зазвичай, математичне очікування вивчаємого процесу заздалегіть не означене і для його знаходження треба ще скористатися формулою (29). У цьому випадку, природно, замінити на , після чого записати –

(41)

Опрацьовувати експериментальний матеріал можна також інакше. Спочатку отримати оцінку математичного очікування добутку , а вже потім перейти до оцінки кореляційної функції, скориставшися загальним співвідношенням між центральним і початковим моментами другого порядку

(42)

в якому математичні очікування, що знаходяться справа, слід замінити їх оцінками. Розрахункова формула в цьому разі набуває вигляду –

(43)

Цей вираз не співпадає з формулою (41), однак за умови достатньо великого результати, отримані при цьому, будуть практично збігатися.

Незсуненість оцінки (41) чи (43) не виходить з наведених міркувань, а тому повинна бути перевірена [3].

Обчислимо, для прикладу, математичні очікування обох частин рівності (43). Після зміни послідовності інтегрування і визначення математичного очікування, одержуємо –

(44)

Для ергодичних випадкових процесів, коли , дисперсія , за доведеним раніше, з ростом наближається до нуля. Тому, в цьому випадку

(45)

Слід звернути увагу, що на відміну від , математичне очікування оцінки дорівнює тільки асимптотично.

Можна довести також, що оцінка (41) теж є асимптотично незсуненою, тобто з ростом для ергодичних випадкових процесів математичне очікування наближається до .

Обчислення дисперсії правої частини формул (41) та (43) призводить до, певної мірі, громіздкого виразу. Щоб одержати більш простий, має сенс припустити, що при обчисленні використовується не вся реалізація, а тільки її частина за час , тобто, що обчислюється не за формулою (8), а за такою формулою

(46)

і надалі дотримуватися з виразу (43).

За умов окреслених припущень, співвідношення (43) можна записати у вигляді

(47)

Визначаючи дисперсію за загальними правилами, маємо

(48)

Підставивши у цю формулу значення , визначене за формулою (47), а значення - з формули (44), отримаємо –

(49)

З наведеного слугує, що для визначення дисперсії оцінки кореляційної функції в загальному випадку недостатньо знати тільки кореляційну функцію, треба також мати в наявності моменти аж до четвертого порядку включно. Для нормальних процесів, моменти усіх порядків можуть бути визначені через математичне очікування та кореляційну функцію.

Дійсно, на підставі відомих співвідношень теорії імовірностей для довільних чотирьох нормально розподілених величин слушним являється співвідношення -

(50)

де кореляційний момент ї та ї випадкових величин.

Підставляючи у вираз (50) замість відповідно , та , замість формули (49) отримуємо:

(51)

де

У тому випадку, коли відоме напевно і тому застосовується формула (38), аналогічні викладки призводять до наступного результату:

(52)

З формул (51) та (52) випливає, що за наявної ергодичності нормального процесу , має місце рівність

(53)

тобто вирази (41) та (43) надають обгрунтовані асимптотичні незсунені оцінки кореляційної функції.

Також обгрунтованою і асимптотично незсуненою оцінкою постає вираз (39).

Якщо процес відрізняється від нормального, наявність ергодичності для функції може бути недостатнім для ергодичності добутку . Тому, щоб прийняти співвідношення (43) за оцінку кореляційної функції, необхідно спочатку переконатися, що права частина виразу (49) прямує до нуля з ростом . Однак у більшості практично інтересних випадків застосування формули (43) все ж таки не викликає сумнівів.

Формула (49) і відповідна їй за нормального процесу формула (52), являють інтерес для чисельного визначення точності знайденої оцінки кореляційної функції, яку можна одержати заміною в ній шуканої кореляційної функції на її оцінку.

Вигляд формули (52) переконує, що з наближенням інтервалу до величини , дисперсія оцінки збільшується, тобто точність оцінки знижується. Отже, при побудові графіка оцінки треба приймати до уваги той факт, що точність знайдених ординат цієї функції зменшується з віддаленням від початку координат. Чиниться це внаслідок того, що з ростом інтервал часу , на якому провадиться осереднення функції , зменшується.