Тема 2.2. Аналітична апроксимація експериментальної кореляційної функції

Після визначення достатньої кількості ординат функції та побудови її графіка зазвичай виникає необхідність в апроксимації кореляційної функції простим аналітичним виразом, який був би зручним для подальшого використання. Він повинен вдовольняти загальним властивостям кореляційних функцій, а також відтворювати характерні особливості отриманої кривої .

Апроксимуючий вираз може бути знайденим звичайними методами наближення функцій з будь-якою точністю. В той же час, велика точність наближення до відшукуваного значення часто-густо не тільки зайва для одержання відповіді на конкретні практичні питання, що розв’язуються в даній задачі, але буває навіть небажаною. Пояснення цьому факту очевидне. Відтворення особливостей графіка , який має власну невисоку точність оцінки кореляційної функції, може тільки порушити сутність природи вивчаємого явища. Щонайменше, ускладнити його аналіз. Тому вибір апроксимуючого виразу, разом з вибором необхідного ступеня точності аналітичної апроксимації, окреслюється рамками тієї задачі, для потреб якої все це робиться [2].

Наприклад, якщо випадкова функція, характеристики якої з’ясовуються з експерименту, міститься в правій частині диференціального рівняння, розв’язок якого постає за предмет досліджень, тоді має суттєве значення тільки загальний характер зміни функції . Потому і за апроксимуючий вираз однаково придатні співвідношення, що відповідають як диференційовному, так і недиференційовному процесу.

Навпаки, якщо виникає потреба по знайденій кореляційній функції винайти кореляційну функцію похідної вивчаємого випадкового процесу, вибір апроксимуючого виразу слід чинити з великою обережністю. Так, до речі, аналітичне зображення оцінки кореляційної функції у вигляді

(54)

відверто не придатне і кращий результат можна очікувати від апроксимації виразом

. (55)

Окрім цього, слід прийняти до уваги, що обираючи апроксимуючу функцію не зайвим постає врахування особливостей природи виникнення вивчаємого випадкового процесу. Так, більшість випадкових процесів, які становлять інтерес для техніки, можуть уявляться як результат проходження білого шуму крізь динамічну систему із сталими, або приблизно сталими, параметрами. У цьому разі спектральна щільність повинна мати вигляд

, (56)

Де і – поліноми степенів і від , які містять тільки парні степені свого аргумента.

Такій спектральній щільності відповідає кореляційна функція

, (57)

де , − абсолютні значення уявних і дійсних частин коренів полінома .

Наведена кореляційна функція спадає з ростом за експоненціальним законом. Тому для процесів подібної структури апроксимації

(58)

або

(59)

найменш бажані, бо кореляційні функції відповідають випадковим процесам із суттєво різними властивостями [1].

В багатьох задачах досить задовільною постає аналітична апроксимація функції у вигляді –

;

;

;

, (60)

з яких перших два відповідають недиференційовному процесу, а останні два – процесу, що має тільки одну похідну.

При використанні апроксимацій такого виду, за величину може слугувати оцінка дисперсії, тобто , а сталі і можна визначити по декільком найбільш характерним точкам кривої . Як зазначалося, точність ординат падає з ростом , тому за характерні точки не слід обирати ті, які знаходяться досить далеко від початку координат.