Тема 3.1. Визначення спектральної щільності за попередньо обчисленою кореляційною функцією

Для визначення спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу за його реалізацією, можна або спочатку визначити оцінку кореляційної функції вже викладеним способом і знайти її перетворення Фур’є, або з самого початку вести опрацьовування реалізацій випадкової функції таким чином, щоб відразу знаходити ординати оцінки спектральної щільності.

Розглянемо більш ретельно кожний із наведених способів з метою виявлення більш ефективного.

Якщо оцінка спектральної щільності визначається за попередньо обчисленою оцінкою кореляційної функції , тоді можна або попередньо апроксимувати відповідним аналітичним виразом, або виходити безпосередньо з графіка , отриманого шляхом опрацьовування реалізації випадкового процесу [4].

Перший шлях є найбільш практичним на той випадок, коли, виходячи із загальних міркувань, вид кореляційної функції не породжує сумнівів і відсутня небезпека втрати певних істотних особливостей спектральної щільності при її апроксимації. Так, наприклад, якщо випадкова функція може розглядатися як вихідна функція стаціонарної лінійної системи першого порядку, на вхід котрої надходить білий шум, а функція , в той же час, задовільно апроксимується виразом

, (67)

Тоді, в цьому випадку, для оцінки спектральної щільності відразу отримуємо -

(68)

Разом з тим, часто-густо постають задачі, для розв’язання котрих оцінка повинна бути знайдена з більшою ретельністю, бо самою суттю опрацьовування реалізацій постає виявлення надтонких властивостей спектральної щільності, пов’язаних із з’ясуванням природи прояву вивчаємого випадкового процесу. У цьому разі необхідно звертатися до оцінки ще до процесу її апроксимації, або ж безпосередньо до самої реалізації випадкового процесу.

У першому випадку виникають принципові труднощі, пов’язані з тим, що оцінка кореляційної функції відома лише на обмеженому інтервалі зміни її аргументу , причому точність оцінки зменшується з наближенням до межі інтервалу. Тому обчислення оцінки спектральної щільності за формулою

(69)

не визнається найкращим, а в цілому ряду випадків навіть просто неприпустиме, бо ординати кореляційної функції , які випадають із розгляду, за умови , можуть істотно змінити ординати спектральної щільності за малих значень .

Таким же малоефективним виявляється і безпосереднє використання перетворення Фур’є до реалізації .

Пояснимо докладніше. Нехай має місце реалізація , яка записана в інтервалі часу . Спектральна щільність є осередненим значенням квадрата модуля амплітуди розкладання випадкової функції в ряд Фур’є, тому за оцінку спектральної щільності природно взяти вираз, який часто іменують періодограмою

, (70)

обчислення якого значно простіше піддається автоматизації ніж кореляційна функція, оскільки зникає необхідність перемноження ординат реалізацій, які вибираються для різних моментів часу.

Щоб вираз (70) можна було прийняти за оцінку, необхідно пересвідчитися в тому, що з ростом його математичне очікування прямує до , а дисперсія – до нуля. Виконання першої умови легко довести обчислення математичного очікування обох частин виразу (70) і розглянувши квадрат модуля інтеграла як подвійний інтеграл. Приймаючи , одержуємо -

(71)

Виконавши граничний перехід, отримаумо:

(72)

отже, перша умова, котрій повинна відповідати оцінка , виконується [5].

Проте друга умова порушується. Так, наприклад, для нормально розподіленого процесу (вважаючи ) маємо

(73)

іншими словами, точність визначення спектральної щільності за формулою (70) з ростом інтервалу не зростає. І, таким чином, формула (70) не може бути прийнятою за оцінку спектральної щільності.