Тема 3.2. Безпосереднє застосування перетворення Фур’є

Необгрунтованість цієї оцінки пов’язана з тим, що тут визначається не чисельний параметр, який характеризує спектральну щільність , а здійснюється оцінка усього ходу цієї функції. Внаслідок того, що кількість оцінюваємих ординат нескінченне, тому дисперсія оцінки кожної ординати не зменшується з ростом .

Наведемо випадкову функцію у вигляді обмеженого відрізку ряда Фур’є -

(74)

де і - випадкові величини з однаковою дисперсією та нульовими математичними очікуваннями.

Для отримання оцінки дисперсії наведемо реалізацію випадкової функції у вигляді ряду (74), коефіцієнти якого можна розглядати як реалізації випадкових величин і . Оцінкою дисперсії цих параметрів буде

(75)

Збільшимо число доданків у формулі (74). Тоді за умови граничного переходу ця сума перетвориться на інтеграл, а можна буде замінити на . За такого граничного переходу оцінка , як і раніше, буде обчислюватися за формулою (75), яка містить лише два доданки, і, отже, дисперсія оцінки не буде зменшуватися з ростом , а відтоді отримана таким чином оцінка не буде обгрунтованою. Стан справ зміниться, якщо замість оцінки дисперсії кожної з амплітуд або оцінювати дисперсію суми амплітуд, які знаходяться на заданому інтервалі частот . Стосовно неперервного спектру частот це означає пошук не оцінки ординат спектральної щільності , а оцінки інтегралу від цієї спектральної щільності у межах від до (чи, що те ж саме, різниці спектральних функцій ). У цьому випадку

(76)

буде асимптотично незсуненою і обгрунтованою.

Таким чином, внаслідок необгрунтованості оцінки , формула (70) не дозволяє, навіть за дуже значної довжині реалізації , одержати надійне значення спектральної щільності у даній точці і надійно з’ясувати особливості тонкої структури функції [3].

Навпаки, якщо цікавитися осередненим значенням цієї функції, тоді з ростом інтервалу осереднення на цій же довжині реалізації отримуються більш ефективні оцінки. В той же час, якщо користуватися найденими осередненими оцінками для характеристики спектральної щільності , тоді неминуче виникає систематична похибка і отримання обгрунтованої оцінки шляхом наведеного вище осереднення за частотою призведе до порушення її незсуненості.

Щоб подолати виникаючі труднощі, застосовують різні способи, які грунтуються на раціональному осередненні ординат спектральної щільності.

Суть найпростішого з них полягає в наступному. Як було зазначено раніше, вираз (70) не можна використовувати як оцінку спектральної щільності бо він не дає обгрунтованої оцінки. Однак, якщо розбити інтервал часу на інтервалів довжиною і застосувати періодограму (70) для кожного з них, тоді визначається оцінок спектральної щільності

(77)

середнє арифметичне котрих за достатньо великих та можна прийняти за оцінку . Дійсно, прийнявши

(78)

і обчислюючи математичне очікування обох частин цієї рівності, та приймаючи до уваги умови (72), отримаємо -

(79)

З іншого боку, вважаючи за достатньо великого незалежними випадковими величинами і використовуючи основні теореми для дисперсії суми незалежних випадкових величин, згідно співвідношення (73), маємо:

(80)

Проілюструємо, що оцінку, практично еквівалентну (78), можна одержати з формули (69), якщо ввести у підінтегральний вираз в правій частині формули відповідну вагову функцію. Щоб в цьому пересвідчитися, підставимо (77) у (78), а квадрат модуля інтеграла запишемо у вигляді подвійного інтегралу. Виконавши ці перетворення, отримаємо

(81)

Якщо в кожному з інтегралів провести заміну змінних, прийнявши

(82)

тоді вираз (81) набуде вигляду:

(83)

Коли ввести нову змінну інтегрування

формулі (83) можна надати іншого вигляду -

(84)

Перша сума в отриманій рівності з урахуванням множника дає оцінку кореляційної функції , яка обчислюється за формулою (41) для реалізації довжиною . Кожний із внутрішніх інтегралів у другому доданку формули (84) також дає оцінку кореляційної функції, але обчислену на відрізку реалізації довжиною і помноженою на . Позначивши ці оцінки та , для першого і другого інтегралів суми, замість виразу (84), можна записати -

(85)

Якщо в цій формулі не робити різниці між оцінками і , написавши усюди , тоді отримаємо -

(86)

де вагова функція, що обертається на нуль, за умови .

В залежності від вибору вагової функції, розрізняють також і види оцінок:

зрізана оцінка -

видозмінена оцінка Бартлета –

оцінка Хеммінга –

Таким чином, наведені вище якісні міркування переконують, що введення в формулу перетворення Фур’є оцінки кореляційної функції додаткового множника, відмінного від нуля тільки в скінченному (симетричному) інтервалі зміни аргумента, наближено еквівалентно переходу від необгрунтованою оцінки (70) до обгрунтованої (78). При цьому, загальні міркування щодо вибору інтервалу залишаються такими ж самими – інтервал повинен бути достатньо великим, аби оцінка була незсуненою, і, разом з тим, достатньо малим, аби стало таким великим, що б оцінка була ефективною [4].

Загальних теоретичних рекомендацій стосовно вибору значення , на жаль, не вдається сформулювати, бо оптимальна величина залежить не тільки від вигляду шуканої величини спектральної щільності , але також від конкретної задачі, яка при цьому вирішується. Тому можна зробити тільки загальні практичні рекомендації стосовно вибору ширини інтервалу (ширина «вікна», як іноді іменують цей інтервал в англійській та американській літературах) – окреслюється вагова функція , а вже потім проводиться обчислення для довільних значень (наприклад, збільшуючи його). Внаслідок того, що мала величина відповідає великому числу у формулі (78), одержана при цьому оцінка буде найбільш ефективною (дисперсія оцінки буде найменшою). Разом з тим, за малих оцінка буде мати найбільше зсунення, що може істотно викривити графік.

Із збільшенням , ефективність оцінки буде падати, але буде також зменшуватися при цьому її систематична похибка. На отриманих графіках це проявляється в існуванні плавної кривої (для малих ) та в наближенні до виду реалізації при великих , що є наслідком необгрунтовності оцінки [2].

Якщо довжина реалізації випадкового процесу досить велика, тоді, звичайно, вдається підібрати оптимальне значення , якщо дотримуватись вказаного вище шляху. Коли ж мала, то ніяким добором не можна отримати досить задовільну оцінку спектральної щільності і треба збільшувати об’єм експериментального матеріалу.