Тема 4.1. Незсуненість і обгрунтованості оцінки розподілу ординат

Припустимо, що існує в наявності реалізація стаціонарного процесу тривалості . Оцінимо функцію розподілу ординати процесу.

На графіку, який відтворює реалізацію , проведена пряма, що паралельна до осі і знаходиться на відстані (рис. 3). За оцінку функції розподілу, природно, взяти відношення загального часу перебування реалізації випадкової функції нижче рівня до тривалості реалізації ,тобто

(87)

де час го викиду за рівень , а додавання проводиться за усіма викидами, які мали місце за час [1].

Щоб перевірити незсуненість та обгрунтованості оцінки (87), її доцільно записати в іншому вигляді -

(88)

бо підінтегральний вираз дорівнює одиниці, якщо і дорівнює нулю, якщо . Отже, інтегрування дає суму часу перебування випадкової функції вище заданого рівня.

Використовуючи інтегральне уявлення, для нелінійності класу , вираз (88) можна записати –

(89)

Обчислюючи математичне очікування обох частин цієї рівності, маємо:

(90)

де характеристична функція ординати випадкового процесу , внаслідок його стаціонарності, не залежить від часу і, тому, інтегрування за параметром можливе [6].

Легко переконатися, що права частина виразу (90) являє собою функцію розподілу . Дійсно, після диференціювання виразу (90), отримуємо -

(91)

З іншого боку, з формули (87) безпосередньо походить, що , тому що за умови весь проміжок часу буде відповідати викиду. Отже, і, приймаючи до уваги співвідношення (91), отримуємо:

(92)

Таким чином, вираз (87) дає незсунену оцінку функції розподілу .

Обгрунтованість оцінки визначимо обчисленням дисперсії (89). З цією метою, від виразу (89) віднімемо співвідношення (90) і виконаємо операцію пошуку математичного очікування квадрата різниці, що одержали:

(93)

де - характеристична функція системи випадкових величин та , яка залежить, внаслідок стаціонарності процесу, тільки від інтервалу часу , а величини та являють собою характеристичні функції і відповідно.

Скориставшись формулами (89) та (90), з огляду на співвідношення

(94)

та приймаючи до уваги, що

(95)

формулу (93) можна записати інакше:

(96)

де - функція розподілу системи випадкових величин , , обидва аргументи котрої прийняті рівними .

Різниця у правій частині виразу (96) стрімко зменшується з ростом внаслідок того, що ординати та у цьому випадку стають незалежними. Тому

У більшості практично цікавих випадках

(97)

і, природно, оцінка являється обґрунтованою. Для її обчислення за формулою (87) можуть бути використані, наприклад, корелятори, які забезпечені додатковими нескладними пристроями [3].