Какую систему уравнений надо решить для определения параметров уравнения ?

1);2);3);4)

 

Решение типовых задач

Пример 1. Имеются следующие данные о товарных запасах торгового дома за 1994 – 2002гг., млн. грн.

1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0

Требуется выявить основную тенденцию изменения товарных запасов, используя следующие методы: 1) укрупнение интервалов времени; 2) эмпирическое сглаживание; 3) аналитическое выравнивание по прямой.

Решение

1.Укрупнение интервалов времени.Произведем укрупнение интервалов, начиная с объединения двух уровней:

1994-1995гг.:10,0+10,7=20,7 млн.грн; 1998-1999гг.:12,9+16,3=29,2 млн.грн

1996-1997гг.:12,0+10,3=22,3 млн.грн; 2000-2001гг.:15,6+17,8=33,4млн.грн.

По результатам проведенных расчетов проявляется тенденция роста изучаемого показателя. Используя полученные суммы по периодам, можно рассчитать ступенчатые средние. Для наглядности итоги расчетов оформим в таблице.

Таблица 8.2

Укрупнение интервалов времени и ступенчатые средние, исчисленные по данным о товарных запасах торгового дома за 1994 – 2002 гг.

 

Интервалы времени	Суммы по периодам,млн.грн.	Ступенчатые средние,млн.грн.
1994 – 1995	20,7	10,4
1996 – 1997	22,3	11,2
1998 – 1999	29,2	14,6
2000 – 2001	33,4	17,7
	-	18,0

 

Ступенчатые средние наглядно отображают тенденцию роста товарных запасов торгового дома за 1994–2002гг.

2.Эмпирическое сглаживание. Сгладим данный ряд динамики по трехлетней скользящей средней, т.к. период колебаний запасов равен трем годам. Исчислим:

средний уровень за 1994-1996гг.:млн.грн.;

средний уровень за 1995-1997гг.:млн.грн.;

средний уровень за 1996-1998гг.:млн.грн.

и т.д. Результаты расчета трехлетней суммы и скользящей средней по периодам представим в таблице (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Сглаживание динамического ряда товарных запасов за 1994 – 2002гг. с помощью трехлетней скользящей средней

 

Годы	Товарные за-пасы,млн.грн.	Период сглаживания	Середин-ный год	3х-летние сум-мы,млн.грн	3х-летние скользящие средние,млн. грн
1	2	3	4	5	6
	10,0	–	–	–	–
	10,7	1994 - 1996		32,7	10,9
	12,0	1995 - 1997		33,0	11,0
	10,3	1996 - 1998		35,2	11,7
	12,9	1997 - 1999		39,5	13,2
	16,3	1998 - 2000		44,8	14,9
	15,6	1999 - 2001		19,7	16,6
	17,8	2000 - 2002		51,4	17,1
	18,0	–	–	–	–

Таким образом, нами получен новый ряд динамики (гр. 4 и 6), в котором наблюдается тенденция роста запасов за исследуемый период времени.

3. Аналитическое выравнивание. При выборе функции, описывающей тенденцию, логический анализ динамического ряда должен опираться на графические изображение его. Нанесем на график приведенные данные. Ломаная кривая, отображающая фактические данные, позволяет выбрать в качестве функции, описывающей тренд, уравнение прямой (рис.8.1).

 

Уравнение прямой выражается формулой:

где значение выравненного ряда (теоретические уровни);и - параметры уравнения прямой; показатель времени.

Товарные запа-сы, млн. грн.

Рис. 8.1. Товарные запасы торгового дома за 1994–2002гг.

 

Для нахождения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:

где у – фактические уровни ряда динамики; п – количество уровней.

Для упрощения расчетов в рядах динамики обозначают время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода. Если количество уровней четное, то условное обозначение показателя времени принимает вид:

Годы 1997 1998 1999 2000 2001 2002

t -5 -3 -1 +1 +3 +5

Если количество уровней нечетное, условное обозначение t имеет вид:

Годы 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

t -3 -2 -1 0 1 2 3

Таблица 8.4