Аналитического уравнения - раздел Математика, ПО ТЕОРИИ СТАТИСТИКИ
Годы
Товарные Запасы, ...
| Годы
| Товарные запасы, млн.грн.
| t
| t2
| yt
| yt
| |y - yt|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 10,0
| - 4
|
| - 40,0
| 9,4
| 0,6
| 0,036
|
|
| 10,7
| - 3
|
| - 32,1
| 10,5
| 0,2
| 0,004
|
|
| 12,0
| - 2
|
| - 24,0
| 11,6
| 0,4
| 0,013
|
|
| 10,3
| - 1
|
| - 10,3
| 12,7
| 2,4
| 0,233
|
|
| 12,9
|
|
|
| 13,8
| 0,9
| 0,070
|
|
| 16,3
|
|
| 16,3
| 14,9
| 1,4
| 0,086
|
|
| 15,6
|
|
| 31,2
| 16,0
| 0,4
| 0,026
|
|
| 17,8
|
|
| 53,4
| 17,1
| 0,7
| 0,039
|
|
| 18,0
|
|
| 72,0
| 18,2
| 0,2
| 0,011
|
| Итого
| 123,6
|
|
| 66,5
| 124,2
| -
| 0,520
|
Следовательно, 
= 0. Тогда система нормальных уравнений примет вид: 
Отсюда, 
Следовательно,
; 
.
Таким образом, уравнение прямой, описывающей тенденцию из-менения товарных запасов за 1994-2002гг., примет вид:
Подставив в это уравнение значение t получим выравненные (теоретические) показатели товарных запасов (табл. 8.3, гр.6). По приведенным расчетам можно сделать вывод о тенденции роста запасов, при этом в среднем ежегодно они возрастали на 1,1 млн.грн., о чем свидетельствует значение параметра а1 в уравнении прямой.
Определим критерий статистической точности анализируемого уравнения:
. Так как
то можно заключить, что в данном случае аналитическое уравнение достаточно точно описывает эмпирические данные.
Пример 2.Имеются следующие данные о продаже трикотажных изделий в розничной торговой сети по кварталам за три года, млн.грн:
| Годы
| Кварталы
|
| I
| II
| III
| IV
|
| Первый год
|
|
|
|
|
| Второй год
|
|
|
|
|
| Третий год
|
|
|
|
|
Для анализа внутригодовой динамики продажи трикотажных изделий необходимо определить индексы сезонности.
Решение
По годовым показателям рассчитаем темпы роста:
Таблица 8.5
Динамика продажи трикотажных изделий в розничной
торговой сети региона
| Годы
| Годовые уровни продажи три-котажных изделий, млн. грн
| Темпы роста, %
|
| к предыдущему году
| к первому году
|
| Первый
|
| -
| 100,0
|
| Второй
|
| 103,2
| 103,2
|
| Третий
|
| 100,8
| 104,0
|
Представленный в нашем примере ряд динамики имеет цепные и базисные темпы роста, изменяющиеся незначительно. Для анализа внут-ригодовой динамики рядов, в которых наблюдается стабильность годо-вых уровней или имеет место незначительная тенденция роста (сниже-ние), изучать сезонность возможно с помощью метода простой средней:
.
Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние квартальные уровни за три года: 
I квартал:
млн.грн.;
II квартал:
млн.грн и т.д. (табл. 8.6)
Исчислим общую среднюю (итог по гр.6 табл.8.6): 
Определим за каждый квартал индексы сезонности:
I квартал:
и т.д. (табл. 8.6).
Таблица 8.6
Расчет индексов сезонности продажи трикотажных изделий в розничной сети региона по кварталам трех лет
| Годы и показатели
| Кварталы
| Итого за год
|
| I
| II
| III
| IV
|
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
|
| Первый
|
|
|
|
|
|
| Второй
|
|
|
|
|
|
| Третий
|
|
|
|
|
|
| Итого:
|
|
|
|
|
|
| Средний уровень, млн.грн
|
|
|
|
|
|
| Индексы сезонности, %
| 115,6
| 75,0
| 70,3
| 139,1
| 100,0
|
Рис. 8.2. График сезонности продажи трикотажных изделий по кварталам за три года.
По индексам сезонности можно наблюдать рост или снижение продажи трикотажных изделий в различное время года. Так, по проведенным расчетам очевидно, что наименьший спрос приходится на III квартал и наибольший – на IV квартал.
Сезонная волна, изображенная графически (рис 8.2), показывает, что ниже среднего уровня продажа трикотажных товаров наблюдается во II и III кварталах и выше среднего уровня она в I и IV кварталах года (осенний и зимний подъемы).
Пример 3. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставок сельскохозяйственной продукции торговой фирме, тыс.т:
| Кварталы
| Поставка, тыс. т
|
| первый год
| второй год
| третий год
|
| I
| 16,2
| 15,0
| 15,8
|
| II
| 17,0
| 19,8
| 22,5
|
| III
| 17,7
| 17,8
| 18,7
|
| IV
| 15,1
| 16,8
| 17,2
|
Для анализа внутригодовой динамики поставки сельскохозяйственной продукции требуется исчислить индексы сезонности.
Решение
Для каждого года квартальные уровни укрупним до годовых и по ним исчислим темпы роста.
Таблица 8.7
Динамика поставки сельскохозяйственной
продукции торговой фирме
| Годы
| Годовые уровни, тыс. т
| Темпы роста, %
|
| к предыдущему году
| к первому году
|
| Первый
| 66,0
| -
| 100,0
|
| Второй
| 69,4
| 105,2
| 105,2
|
| Третий
| 74,2
| 106,9
| 112,4
|
Можно отметить, что ряд динамики имеет четкую тенденцию роста поставок, об этом свидетельствуют увеличивающиеся цепные и базисные темпы роста.
Для расчета индексов сезонности в таких рядах динамики применяют формулу: 
Определим теоретические значения
по уравнению:
Для определения параметров а0 и а1 составим таблицу 8.8 со вспомогательными расчетами.
Таблица 8.8
Расчет параметров 
и 
аналитического уравнения
| Периоды
| Поставка, тыс.т,
| t
| t2
| yit
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Первый год
|
| I кв.
| 16,2
| -11
|
| -178,2
| 16,2
| 100,0
|
| II кв.
| 17,0
| -9
|
| -153,0
| 16,4
| 103,7
|
| III кв.
| 17,7
| -7
|
| -123,9
| 16,7
| 106,0
|
| IV кв.
| 15,1
| -5
|
| -75,5
| 16,9
| 89,3
|
| Второй год
|
| I кв.
| 15,2
| -3
|
| -45,6
| 17,1
| 88,9
|
| II кв.
| 19,4
| -1
|
| -19,4
| 17,4
| 111,5
|
| III кв.
| 18,0
|
|
| 18,8
| 17,6
| 102,3
|
| IV кв.
| 16,8
|
|
| 50,4
| 17,9
| 93,9
|
| Третий год
|
| I кв.
| 15,8
|
|
| 79,0
| 18,1
| 87,3
|
| II кв.
| 22,5
|
|
| 157,5
| 18,3
| 117,5
|
| III кв.
| 18,7
|
|
| 168,3
| 18,6
| 100,5
|
| IV кв.
| 17,2
|
|
| 189,2
| 18,8
| 91,5
|
| Итого
| 209,6
|
|
| 66,8
| 210,0
| -
|
Определим параметры: 
; 
Следовательно, уравнение прямой примет вид:
. Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим выравненные уровни ряда (табл. 8.8 гр. 6). Далее необходимо оп-ределить для каждого квартала процентные отношения эмпирических уровней ряда (yi) к теоретическим (
), т.е. 
(табл.8.8 гр.7).
Таблица 8.9
Динамика поставок сельскохозяйственной продукции торговой фирме и расчет индексов сезонности
| Квар-
талы
| Фактические данные, yi
| Выравненные данные,
| Фактические данные в % к выравненным,
| Сумма
про-центных
отноше
ний,
(гр.8+
+гр.9+
+гр.10)
| Индексы
сезон-
ности,
 :
: n
|
| первый год
| второй год
| третий год
| первый год
| второй год
| третий год
| первый год
| второй год
| третий год
|
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
|
| I
| 16,2
| 15,2
| 15,8
| 16,5
| 17,1
| 18,1
| 100,0
| 88,9
| 87,3
| 276,2
| 92,1
|
| II
| 17,0
| 19,4
| 22,5
| 16,4
| 17,4
| 18,3
| 103,7
| 111,5
| 117,5
| 332,7
| 110,9
|
| III
| 17,7
| 18,0
| 18,7
| 16,7
| 17,6
| 18,6
| 106,0
| 102,3
| 100,5
| 308,8
| 102,9
|
| IV
| 15,1
| 16,8
| 17,2
| 16,9
| 17,9
| 18,8
| 89,3
| 93,9
| 91,5
| 274,7
| 91,6
|
| Итого
| 66,0
| 69,4
| 74,2
| 66,2
| 70,0
| 73,8
| -
| -
| -
| -
|
|
Просуммируем полученные процентные отношения 
за три года по одноименным кварталам:
I кв. : 100,00 + 88,9 + 87,3 = 276,2;
II кв. : 100,3 + 111,5 + 117,5 = 332,3 и т. д. (табл. 8.9 гр.11).
Затем исчислим индексы сезонности (табл. 8.9 гр.12). Они характеризуют размеры поставок сельскохозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наибольший удельный вес поставок приходится на второй и третий кварталы года.
Пример 4. На условных данных о грузообороте предприятий в одном из регионов необходимо произвести выравнивание по ряду Фурье. В таблице содержатся произведения у · соst, у · sint, необходи-мые для определения параметров уравнения по первой гармонике.
На основе полученных итоговых данных таблицы 8.10 находим:
Отсюда: 
Подставляя в это уравнение значения соst, sint (из таблицы приложения 2) получим теоретические значения грузооборота 
(см. гр. 5 табл. 8.10).
Таблица 8.10
Грузооборот транспортных предприятий региона и расчет параметров системы уравнения по ряду Фурье
| Месяц, t
| Грузооборот, млрд. ткм, у
| у соst
| у sint
| 
|
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
|
|
|
| 60,00
|
| 71,20
|
|
|
| 69,28
| 40,00
| 81,02
|
|
|
| 43,00
| 74,45
| 90,22
|
|
|
|
| 108,00
| 96,03
|
|
|
| - 67,00
| 116,04
| 97,10
|
|
|
| - 50,22
| 29,00
| 93,06
|
|
|
| - 70,00
|
| 85,04
|
|
|
| - 58,88
| - 34,00
| 76,50
|
|
|
| -45,00
| - 77,94
| 66,10
|
|
|
|
| - 70,00
| 60,26
|
|
|
| 29,00
| - 50,22
| 59,22
|
|
|
| 48,50
| - 28,00
| 63,26
|
| Итого
|
| - 41,32
| 107,36
| 939,04
|
Параметры гармоники второго и высшего порядка рассчитываются аналогично, и их значения последовательно присоединяются к значениям первой гармоники. Опустив расчеты, запишем уравнение для выравнивания изучаемого ряда с учетом второй гармоники:
Подставив в данное уравнение конкретные значения соst, sint, sin2t, соs2t, получим выравненные данные грузооборота по месяцам. Расчет и сравнение остаточных дисперсий 
позволяет судить о том, какая гармоника наиболее близка к фактическим уровням ряда.
Все темы данного раздела:
ПО ТЕОРИИ СТАТИСТИКИ
Донецк, 2003
УДК 311 (075.8)
ББК 60.6 я 73
П
А в т о р ы: А.В. Сидорова (введ., г
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Тема 1. Статистическое наблюдение
3
Методические указания
Тесты
Методические указания
Статистическое наблюдение – это планомерный, научно организованный, как правило, систематический учет фактов о явлениях и процессах общественной жизни и сбор получе
Проводится опрос постоянных слушателей радиопередачи.
По степени охвата единиц это наблюдение:
а) выборочное; б) анкетное.
По времени регистрации данных:
в) единовременное; г) текущее.
Годовой отчет о производственно-финансовой деятельности малого предприятия необходимо подать не позднее 10 января.
Объективным временем является: а) 1.01 – 10.01; б) год;
Субъективное время – это: в) 1.01 – 10.01; г) год.
1) а, г; 2) б, в; 3) а, в; 4) б, г.
Решение
Представим ответы на вопросы в виде таблицы.
Статистическое наблюдение
№
п\п
форма
в и д
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Установите, к каким форме, виду и способу относятся перечисленные наблюдения: 1) перепись населения; 2) регистрация родившихся и умерших; 3) ежегодная перепись неустановленног
Методические указания
В результате первой стадии исследования – статистического наблюдения – получают сведения о каждой единице совокупности. Задача второй стадии – упорядочить и обобщить первичный матер
Решение
1.Для построения ранжированного ряда необходимо разряды всех рабочих распределить в порядке возрастания. Ранжированный ряд: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3
Решение
1. По содержанию показателей определяются факторный и результативный признаки: факторный (x) – среднесписочная численность рабочих, результативный (y) – валовой выпуск продукции.
Решение
При выполнении типологической группировки все фирмы делят на 3 группы: с низким уровнем дивидендов (н), средним (с) и высоким (в) уровнем выплаты дивидендов. Объединим выделенн
Решение
Пол студента – альтернативный признак, поэтому образуем две группы и определим удельный вес каждой группы в общей численности студентов. Результаты группировки представим в таблице 2.15.
Т
Решение
Приведенные данные не позволяют произвести сравнение распределения отделений банка “Маяк” в двух регионах по размеру прибыли, так как несопоставимы по интервалам группировки.
По второму ре
Решение
1. По формуле Стерджесса определим количество групп:
k = 1 + 2,233 lg n; k = 1 + 2,233 · 1,3 = 3.
Величина первого интервала будет равна:
Задачи для самостоятельного решения
2.1.К каким группировочным признакам относятся: а) возраст человека; б) национальность; в) балл успеваемости; г) доход сотрудника фирмы; д) форма собственности.
Методические указания
Анализ данных c помощью графического метода является одним из наиболее эффективных и доступных видов анализа. Основным его преимуществом выступает простота применения и наглядность
Решение
Треугольная диаграмма строится в виде равностороннего треугольника, каждая сторона которого разбивается на равные части от 0 до 100.
Параллельно сторонам треугольника проводятся прямые лин
Решение
Для построения диаграммы нужно извлечь квадратные корни из приведенных величин. Это составит соответственно 56,8; 18,4; 14,8. Чтобы построить по этим данным квадраты, необходимо выбрать масштаб, на
Задачи для самостоятельного решения
3.1.Изобразите с помощью столбиковой диаграммы данные о расходах на социально-культурные мероприятия из государственного бюджета Украины, млрд. грн.:
1998 1999 2000 2001
Какую среднюю можно определить по формуле ?
1) среднюю квадратическую простую; 2) среднюю хронологическую; 3) среднюю арифметическую простую; 4) среднюю гармоническую простую.
18. Какая из формул является средней гармоническ
Решение
1. Относительная величина планового задания:
= 1,086 или 108,6%.
Таким образом, планировалось увеличить в отчетном периоде
Решение
1.Относительная величина структуры:
d = ; dчаст =
Решение
Определим коэффициент рождаемости:
Крожд. = 1000 =
Решение
1. Среднюю зарплату маляров определим по средней арифметической простой, так как каждый признак встречается в совокупности один раз: ;
Решение
Составим исходную схему расчета:
.
Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, а значения признака (себестоимост
Решение
Данные о месячной зарплате рабочих цеха представлены в виде интервального ряда распределения (гр.1, 2). Для расчета средней месячной зарплаты необходимо перейти к дискретному ряду распределения. Оп
Решение
Для ответа на вопрос задачи вычислим среднюю квадратическую взвешенную, т.к. значения признака представлены в виде отклонений и предварительно сгруппированы:
Задачи для самостоятельного решения
4.1. За два периода предприятиями консервной промышлен-ности района произведено продукции:
Консервы
Масса бан-ки(нет
Методические указания
1. Анализ рядов распределения. Упорядоченное распределение единиц совокупности по определенному варьирующему признаку представляет собой ряд распределения.
Первым этапом с
Решение
1. Для определения абсолютных показателей вариации необходимо закрыть открытые интервалы и перейти от интервального ряда к дискретному (табл.5.3. гр. 3)
Таблица 5.3
Вспомогательны
Решение
1а. Определяем структурные характеристики ряда распределе-ния, т.е. моду медиану, квартили, децили по рассмотренным выше формулам этих характеристик для интервальных вариационных рядов.
Дл
Кумулятивные показатели распределения семей по среднедушевому доходу
Среднедушевой доход, грн.
Число семей
Общая сумма среднемесячных доходов
Нормального распределения
Средне
душевые доходы,
грн.
Число семей, f
x
Решение
Определяем долю коммерческих киосков, у которых выявлены финансовые нарушения:. Тогда доля киосков, у которых отсутствуют финансовые нарушен
Методические указания
Целью выборочного наблюдения является определение характеристик генеральной совокупности – генеральной средней () и генеральной доли ( р
Решение типовых задач
Пример 1. Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10%-ное собственно-слу-чайное обследование, в результате которого получены следующие дан
Решение
Средняя зарплата работников в генеральной совокупности будет определяться по формуле: . Для определения границ генеральной средней необходи
Решение
Доля бракованной продукции в генеральной совокупности будет находиться по формуле:. Определим процент бракованной продукции в выборочной со
Решение
Пределы генеральной средней определяются по формуле:
Определим среднюю в выборочной совокупности:
Решение
Доля в генеральной совокупности определяется так:
Рассчитаем выборочную долю простоев:
Решение
Средняя в генеральной совокупности рассчитывается по формуле: .Определим среднюю по выборке:
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Укажите способ отбора в следующих выборках: 1) при изучении производительности труда отбирался каждый десятый рабочий завода; 2) для обследования физического здоровья школьник
Формулы показателей анализа ряда динамики
Показатели
Способ расчета
базисный
цепной
Решение
1. Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уров-ня ряда динамики рассчитывается абсолютный прирост.
Базисный способ:
Решение
Исходные данные представлены в виде моментного ряда с неравными интервалами времени между датами. При этом не известен характер изменения показателя между датами. По приведенным в условии задачи да
Решение
Статистическая информация приведена в виде моментного ряда динамики с исчерпывающими данными об изменении явления, поэтому для расчета среднего уровня применяется формула:
Решение
1. Определим коэффициент пересчета уровней для 1999г., с этой целью сопоставим уровень производства этого года в старых и новых границах региона:
Задачи для самостоятельного решения
7.1. Определите вид рядов динамики, характеризующих изменение следующих показателей: 1) списочной численности работников фирмы (по состоянию на начало каждого года); 2) числа родив
Методические указания
Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития.
Основными показателями, дающими представление о тенденции (тренде) развития явления в
Выравнивании динамических рядов
Вид уравнения
Системы уравнений
Обычный способ рас-
чета параметров
Упрощенный способ расчета параметро
Какую систему уравнений надо решить для определения параметров уравнения ?
1);2);3);4)
Задачи для самостоятельного решения
8.1. Поголовье крупного рогатого скота в стране характеризуется следующими данными, тыс. голов:
1996г. 1997г. 1998г. 1999г. 2000г. 2001г. 2002г.
67,2 73,4 68,2 64
Тема 9. ИНДЕКСЫ
Методические указания
Индекс – это относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо социально-экономического явлен
Что можно установить по формуле: ?
Ø относительное изменение средней цены товара; 2) динамику средней по группе объектов цены товара за счет изменения её индивидуальных уровней по каждому объекту; 3) относи-тельное изменение
Решение типовых задач
Пример 1. Имеются следующие данные о производстве про-дукции на заводе:
Вид из-делия
Объем производс
Решение
2. Индивидуальные индексы рассчитаем для изделия “А”:
а) себестоимости ;
Решение
1. Для определения относительного изменения объема произ-водства продукции в текущем году по сравнению с прошлым годом следует использовать средний арифметический индекс:
Решение
2) Общий индекс цен равен: . Для вычисления этого индекса определим предварительно индивидуальные индексы цен:
для тканей: i
Решение
2) Общий индекс товарооборота равен: = 1,229 или 122,9%, т.е. товарооборот во
Решение
3) Индекс цены переменного состава равен:
Явлений
Методические указания
Статистические зависимости между переменными по своему содержанию бывают двух видов: функциональные и стохастические или вероятностн
Шкала Чеддока
Величина показателя тесноты связи по абсолютной величине
0,1 -
0,3
0,3 -
0,5
0,5 -
0,7
0,7 -
0,
Системы нормальных уравнений для разных форм связи
Форма и
уравнения связи
Система нормальных
уравнений
Макет вспомогательной таблицы для определения параметров уравнения
Решение типовых задач
Пример 1.По итогам аналитической группировки, изучающей зависимость средней заработной платы рабочих от возраста (пример 6 темы 5) с помощью однофакторного дисперсионного анализа:
Решение
1. Для определения коэффициента Фехнера рассчитываем средние значения признаков:
тыс.грн/чел,
Решение
1. По условию представлены ряды динамики, уровни которых автокоррелированы по своему содержанию, так как стоимость оборотных средств в каждом квартале частично включает их стоимость за предыдущий п
Задачи для самостоятельного решения
10.1. По областям Украины за 1998 год имеются следующие данные (таблица 10.11). Определите: 1) тесноту связи между среднемесячной заработной платой и розничным товарооборотом на ду
Тема 10
10.3.10.4.
Новости и инфо для студентов