применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.
Например, в табл.7.1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:
fМо + f Мо-1
Мо = Х Мо + i Мо -------------------------------------- (6.12)
(fМо + f Мо-1) – (fМо + f Мо+1)
Где ХМо – нижняя граница модального интервала;
iМо – модальный интервал;
fМо, f Мо-1, f Мо+1 – частоты в модальной, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.
По данным задачи 6 рассчитаем моду.
Мо = 3+2 ( (115-60)/ (115-60) + (115-43)) = 3,7 лет.
Медиана – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части (по числе единиц) – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.
NМе = (n + 1) /2 (6.13)
Где n – число членов ряда.
Например. Имеются данные по зарплате 9 работников, руб.
6300, 6500, 6800, 6900, 7000, 7100, 7200, 7300, 7500
NМе = 5 Ме= 7000 руб. (т.е. одна половины рабочих получила зарплату менее 7000 руб., а другая – более.)
В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.
В интервальных рядах распределения медиана определяется по формуле:
( ∑ f) /2 - S Ме-1
Ме =ХМе + iМе--------------------- (6.14)
f Ме
Где ХМе – нижняя граница медианного интервала;
iМе – медианный интервал;
( ∑ f) /2 - половина от общего числа наблюдений;
S Ме-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;
f Ме - число наблюдений в медианном интервале.
Рассчитаем медиану по данным задачи 6. Прежде найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет 2 интервал (3—5 лет), поскольку его кумулятивная частота равна 60+ 125=185, что превышает половину суммы всех частот (250:2 = 125). Нижняя граница интервала 3 года., его частота 115; частота накопленная до него, равна 60.
Подставив данные в формулу (6.14), получим, лет:
Ме = 3+2 (125-60)/115 = 4,13.
Полученный результат говорит о том, что из 250 грузовых машин предприятий 125 машин имеют срок службы менее 4,13 лет, а 125 машин - более.
Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности.
Мода и медиана в отличие от степенных средних является конкретными характеристиками, их значение имеет какого-либо конкретный вариант в вариационном ряду.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношении моды, медианы и средней арифметической позволяет оценит ассиметрию ряда распределения.
Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются математической статистике для анализа формы рядов распределения.