Т. О. Ярхо

Практикум з вищої математики. Невизначений інтеграл : Навчально-методичний порадник / Т. О. Ярхо, Т. В. Ємел’янова,
О. В. Небратенко, Т. Б. Фастовська. – Харків: ХНАДУ, 2011. – 192 с.

Рекомендовано для поглибленої самостійної підготовки студентів з практичної частини одного з важливіших базових розділів загального курсу вищої математики – «Невизначений інтеграл».

Представлено основні методи інтегрування (табличний, заміни змінної, інтегрування частинами), прийоми інтегрування раціональних, ірраціональних та деяких трансцендентних виразів.

Наведено основні теоретичні положення, докладно розібрані приклади і завдання для самостійної роботи.

Призначений для студентів перших курсів усіх спеціальностей.

Бібліогр. 9 найм.

УДК

ББК

Навчально-методичний порадник зі змістового модуля «Невизначений інтеграл» видається кафедрою вищої математики ХНАДУ в складі нещодавно відкритої серії навчально-методичних видань «Практикум з вищої математики». Цю серію розпочато відповідно до Цільової програми удосконалення фундаментальної підготовки в університеті. Навчально-методичні видання «Практикум з вищої математики» призначені для поглибленої самостійної підготовки студентів з практичної частини змістових модулів курсу «Вища математика» в умовах кредитно-модульної технології навчання.

Даний порадник складено відповідно до робочих навчальних програм з дисципліни «Вища математика» (цільових, за вимогами кредитно-модульної технології навчання) для освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр».

Кожен підрозділ порадника, що відповідає певній темі одного з важливіших базових розділів загального курсу вищої математики, містить викладання основних теоретичних положень з рекомендаціями щодо їх практичного застосування, а також значну кількість докладно розібраних прикладів, рівень складності яких зростає поступово.

В пораднику представлено в достатньому обсязі основні методи інтегрування (табличний, заміни змінної, інтегрування частинами), прийоми інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен, інтегрування раціональних, ірріціональних та деяких трансцендентних виразів.

Останній розділ посібника містить завдання для самостійної роботи студентів за змістовим модулем «Невизначений інтеграл» (за окремими підрозділами та модулю в цілому)

Порадник рекомендований для студентів пеших курсів усіх спеціальностей денної і заочної форм начання.

1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
І ВЛАСТИВОСТІ ІНТЕГРУВАННЯ

1.1. Первісна і невизначений інтеграл

Означення. Функція називається первісною функції на інтервалі (скінченному або нескінченному), якщо

1. є диференційовною на ;

2. , .

Приклад 1.1. Функція є первісною функції на всій числовій прямій, оскільки

Теорема. Якщо функція є первісною функції на , то довільна інша первіснана тому ж інтервалі може бути представленою у вигляді

де С – деяка стала.

Таким чином, якщо відома тільки одна первісна функції , можна знайти множину усіх первісних цієї функції, а саме:

де С – довільна стала.

Означенння. Сукупність усіх первісних функції на інтервалі називається невизначеним інтегралом від функції .

Позначення (читається: «інтеграл еф від ікс де ікс»).

Отже, за означенням

де ; С – довільна стала.

Знак називається інтегралом, функція – підинтегральна функція, – підинтегральній вираз.

Означення. Операція знаходження невизначеного інтеграла від даної функції називається інтегруванням цієї функції.

Операція інтегрування полягає у відновленні функції за значенням її похідної . Таким чином, інтегрування є операцією, оберненою до диференціювання (тобто до операції знаходження похідної від даної функції). Для того, щоб перевірити правильність виконання інтегрування, достатньо продиференціювати результат і одержати при цьому підинтегральну функцію.

Приклад 1.2.

1) , оскільки

2) , оскільки

Виникає запитання: чи всяка функція має первісну на інтервалі (інакше кажучи, чи для всякої функції існує невизначений інтеграл)? Відповідь дає наступне твердження.

Твердження. Якщо функція є неперервною на , то для цієї функції існує первісна (а значить і невизначений інтеграл).

Надалі будемо вважати, що підинтегральні функції розглядаються лише на тих інтервалах, де вони є неперервними.

1.2. Таблиця основних інтегралів

1. .

2. .

2.1. .

2.2. .

2.3. .

3. .

4. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Зауваження. Іноді до списку основних інтегралів додають ще кілька інтегралів, у тому числі – інтеграли від гіперболічних функцій.

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

Приклад 1.3. Користуючись таблицею основних інтегралів, знайти наступні інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Розв’язання.

1) Скористуємося табличним інтегралом :

2) Аналогічно знаходимо

3) Аналогічно знаходимо

4) Скористуємося табличним інтегралом :

5) Скористуємося табличним інтегралом :

6) Скористуємося табличним інтегралом :

7) Скористуємося табличним інтегралом :

8) Скористуємося табличним інтегралом :

1.3. Основні властивості невизначеного інтеграла

1. .

2. .

3. .

4. , де – стала (сталий множник можна виносити за знак інтеграла).

5. (інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій).

6. Якщо , то

6.1. .

6.2. .

Приклад 1.4. Користуючись властивістю 6 та її окремими випадками 6.1 та 6.2, знайти наступні інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

Розв’язання. Зауважимо, що інтеграли 1) – 10) відрізняються від табличних лінійним зсувом аргумента. Знайдемо ці інтеграли.

1) Скористуємось табличним інтегралом і властивістю 6.1 ():

2) Скористуємось табличним інтегралом і властивістю 6 ():

3) .

4) .

6) .

7) .

9) Оскільки , то даний інтеграл відрізняється від табличного заміною х на 3х. Скористуємось властивістю 6.2 (а = 3):

10)

2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ

2.1. Метод безпосереднього (табличного) інтегрування

Безпосереднім (табличним) інтегруванням називається обчислення інтегралів за допомогою таблиці основних інтегралів і основних властивостей невизначеного інтеграла.

Розв’язані в розділі 1 приклади 1.3 – 1.4 ілюструють цей метод. Розглянемо ще певну кількість прикладів.

Приклад 2.1. Знайти інтеграли:

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання. Зауважимо, що приклади 1) і 2) було розв’язано в складі прикладів 1.4 (9 і 10) з використанням властивості 6 невизначеного інтеграла. Застосуємо до знаходження цих інтегралів інший підхід.

1) Наявність в підинтегральному виразі множника 9 не дає змогу ототожнити його з табличним інтегралом 11. Слід в підкоренному виразі винести цей множник за дужки:

2) Наявність в підинтегральному виразі множника 3 не дає змогу ототожнити його з табличним інтегралом 15. Отже,

Приклад 2.2.Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання

1) Спочатку застосуємо властивості невизначеного інтеграла 4 і 5, тобто представимо інтеграл від алгебраїчної суми функцій у вигляді алгебраїчної суми інтегралів і винесемо сталі множники за знаки інтегралів. Потім скористуємось табличними інтегралами 2 і 4:

Зауважимо, що на практиці не прийнято записувати проміжкові довільні сталі, що виникають при окремому інтегруванні доданків. В кінцевому результаті записують єдину довільну сталу С, позначаючи нею алгебраїчну суму всіх окремих довільних сталих.

2) Аналогічно попередньому прикладу спочатку застосуємо властивості невизначеного інтеграла 4 і 5, а потім скористуємось табличними інтегралами 3, 4 і 7:

В наступних прикладах знаходження інтегралів розпочинається з перетворення підинтегральних виразів.

Приклад 2.3. Знайти інтеграли:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Розв’язання.

2.2. Метод заміни змінної (підстановки)

Суть цього методу полягає у введенні нової змінної інтегрування, що дає змогу звести інтеграл, який не обчислюється безпосередньо, до табличного або відомого інтеграла. Метод ґрунтується на властивості інваріантності формул інтегрування.

2.2.1. Властивість інваріантності формул інтегрування