рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Приклад 2.4.

Приклад 2.4. - раздел Математика, Практикум з вищої математики   (Таб...

 

(табличний інтеграл 2, ).

 

На основі (2.1) справедливо:

 

, де – довільна функція з неперервною похідною .

Зокрема, підставляючи послідовно , , , маємо

 

;

 

;

 

і т.д.

 

Отже, властивість інваріантності формул інтегрування значно розширює таблицю інтегралів.

З відомих формул для диференціалів

 

 

випливає справедливість наступних рівностей:

 

; (2.3)

 

; (2.4)

 

. (2.5)

 

Перехід

 

називають введенням функцій під знак диференціала. В рівностях виразів (2.4) і (2.5) під знак диференціала введено і , відповідно.

Операція введення функції під знак диференціала виконується з ціллю використання властивості інваріантності формул інтегрування у вигляді (2.2). Розглянемо умови їх застосування і наведемо приклади.

 

2.2.2. Операція введення функції під знак диференціала

 

Нехай треба знайти складний для безпосереднього інтегрування

 

, (2.6)

 

в якому підинтегральний вираз можливо представити у вигляді:

, (2.7)

 

де для функції відома первісна , а є неперервною функцією. Тоді

 


введення функції

під знак диференціала


властивість інваріантності формул інтегрування (2.2)


 

Приклад 2.5. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

1)

 

.

 

2)

 

.

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

6) Звертаємо увагу, що інтеграл було знайдено (приклад 1.4; 6)) з використанням властивості 6 невизначеного інтеграла. Для знаходження цього інтегралу можна також застосувати операцію введення функції під знак диференціала:

 

.

 

Зауваження.

 

1. На практиці часто користуються формулами, які є узагаль­неннями результатів прикладів 1) і 2), а саме:

 

;

.

 

2. Доцільно пам’ятати наступні формули для диференціалів, що найбільш часто зустрічаються на практиці:

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; .

 

Таким чином, у випадках, коли треба знайти , в якому підінтегральний вираз можна представити у вигляді (2.7), застосовують властивість інваріантності формул інтегрування (2.2), що дозволяє одержати результат

 

.

 

Можна користуватися записом (2.1) цієї властивості

 

,

в якому . Це передбачає введення нової змінної інтегрування , тобто здійснення заміни змінної так званого першого типу.

 

2.2.3. Перший тип заміни змінної

 

Функція незалежної змінної заміняється новою змінною:

 

.

 

 

.

властивість

інваріантності

формул інтегру-

вання (2.1)

 

Застосуємо заміну змінної до розв’язання прикладу 2.5.

Приклад 2.6. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

1)

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

6)

 

.

Звертаємо увагу, що в прикладах 5) і 6) перетворення підинтегрального виразу до вигляду

 

 

не здійснювалось. Відповідну заміну змінної було спробувано в передбаченні, що таке представлення є можливим. В ітозі вдалося одержати вірні результати інтегрування.

Підкреслимо, що загального «рецепту» вибору тієї чи іншої заміни не існує. Однак, слід мати на увазі наступну рекомендацію: якщо в підінтегральному виразі є готовий диференціал функції (тобто ), або вираз, що відрізняється від лише сталим множником, то є сенс спробувати заміну .

 

Приклад 2.7. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

В цьому прикладі після почленного ділення чисельника дробу підинтегральної функції на знаменник заданий інтеграл зведено до суми двох інтегралів: та .

Перший інтеграл знаходяться безпосередньо:

 

 

.

 

Другий інтеграл береться заміною змінної:

 

 

.

 

Отже, заданий інтеграл

 

.

 

6)

 

.

 

В даному прикладі для досягнення результату довелося зробити заміну змінної двічі. Перша заміна дозволила спростити заданий інтеграл, а друга заміна звела проміжковий інтеграл до табличного інтегралу: .

 

Зауваження. З формул (2.1) і (2.2) випливає справедливість рівності

 

, (2.8)

 

де є функцією з неперервною похідною. Змінюючи місцями букви і в формулі (2.8), одержимо:

 

. (2.9)

 

Отже формула (2.9) є основою другого типа заміни змінної – підстановки.

 

 

2.2.4. Другий тип заміни змінної (підстановка)

 

Незалежна змінна заміняється функцією нової змінної

 

,

 

де має обернену функцію .

Розглянемо у загальному вигляді умови застосування другого типу заміни змінної і наведемо приклади.

 

інтеграл формула для функції

складний для (2.9) відома первісна

безпосереднього

інтегрування

.

Приклад 2.8. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

 

1) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності у знаменнику підинтегральної функції, виконаємо підстановку:

, де . Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і має обернену функцію . Отже,

 

 

 

.

 

2)

 

.

 

3) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності, виконаємо підстановку

 

(, де ).

 

Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і обернену функцію . Маємо

 

 

 

.

 

4)

 

 

 

.

 

5) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Дійсно, . Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику підинтегральної функції в результаті застосування основної тригонометричної тотожності, виконаємо підстановку: , де . є неперервною функцією в області визначення . Функція має обернену функцію , . Отже

 

 

.

Зауважимо, що коли функція . Тому при розв’язанні прикладу правомірний наступний перехід: .

 

6)

 

.

 

Таким чином, на практиці застосують перший і другий типи заміни змінної. Заміну змінної підбирають так, щоб в результаті перетворень інтеграли були табличними або зводилися до відомих інтегралів.

Після застосування методу заміни змінної завжди необхідно повернутися до заданої змінної інтегрування.

 

2.3. Метод інтегрування частинами

2.3.1. Формула інтегрування частинами,
її зміст та рекомендації щодо застосування.

Метод інтегрування частинами ґрунтується на використанні формули диференціала добутку двох функцій:

 

,

 

звідки випливає рівність

 

.

 

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, одержимо

 

або

 

.

 

Оскільки до складу невизначеного інтеграла вже входить довільна стала, то до неї можна приєднати і доданок С. Отже, одержуємо формулу інтегруванні частинами:

 

. (2.10)

 

Зміст цієї формули полягає у тому, що при обчисленні невизначеного інтегралу підинтегральний вираз деяким чином представляється у вигляді добутку двох множників: і , тобто

 

.

 

Після цього обчислення інтегралу виконується двома інтегруваннями:

1) при обчисленні із виразу :

 

;

 

2) при обчисленні інтегралу в правій частині формули (2.10):

 

.

 

Замість одного складного інтегрування виконуються два, більш простих.

Таким чином, інтегрування виконується частинами.

 

Приклад 2.9. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Представимо підинтегральний вираз у вигляді добутку двох множників х і . Нехай і . Продиференціюємо множник і проінтегруємо множник :

 

.

Зауважимо, що в результаті останнього інтегрування достатньо знайти один множник , тому вважають, що стала інтегрування .

Маємо

 

формула інтегрування частинами (2.10)

.

 

Звертаємо увагу на те, що при інтегруванні частинами треба намагатися, щоб інтеграл справа в формулі (2.10) був простішим, ніж інтеграл зліва.

В розглянутому прикладі, якщо зробити вибір множників і навпаки, ми одержимо справа більш складний інтеграл, ніж зліва:

 

 

.

 

Взагалі метод інтегрування частинами має більш обмежену область застосування, ніж метод заміни змінної. Але існують класи інтегралів, які обчислюються саме методом інтегрування частинами. Укажемо ці класи і надамо рекомендації щодо розбиття підинтегрального виразу на множники і табл. 1.

 

Таблиця 1 – Деякі рекомендації щодо вибору множників u і dv в методі інтегрування частинами

 

№ класу Вид інтегралу u dv
І   – многочлен; – дійсне число
ІІ – алгебраїчна функція; – дійсне число ; – натуральне число
ІІІ Можливий довільний вибір множників u і dv. Після двократного застосування формулі (2.10) одержується лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу
ІV

 

Приклад 2.9. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

При знаходженні всіх інтегралів даного прикладу будемо дотримуватися рекомендацій п. І таблиці 1, відповідно до яких за приймають многочлен, степінь якого при диференціюванні понижується.

 

Розв’язання.

 

1)

формула (2.10)

 

 

.

 

2)

формула (2.10)

 

.

 

3)

формула (2.10)

 

.

 

4)

формула (2.10)

 

 

.

 

При знаходженні інтегралів наступного прикладу будемо дотримуватись рекомендацій п. ІІ таблиці. За множник приймають трансцендентну функцію , , або , яка спрощується при диференціюванні.

 

Приклад 2.10. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

 

 

.

 

2.3.2. Двократне застосування формули
інтегрування частинами

 

Іноді для знаходження інтегралів формулу інтегрування частинами (2.10) доводиться застосовувати кілька разів. Розглянемо приклад щодо двократного застосування цієї формули.

 

Приклад 2.11. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

Клас І (табл. 1)

Клас І (табл. 1)

 

.

 

2)

Клас ІІ (табл. 1)

Клас ІІ (табл. 1)

.

3)

Клас ІІ (табл. 1)

 

 

 

 

.

 

4)

 

 
 
вибір множників і тепер слід обирати, як при першому інтегруванні


 

 

 

.

 

В результаті двократного інтегрування частинами в правій частині рівності одержано шуканий інтеграл . Позначимо цей інтеграл І. Отже, одержано лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу І:

 

. (*)

 

. (**)

 

.

 

.

 

.

 

Зауваження. Пояснимо появу сталого множника С в рівності (**). Справа в тому, що кожний з інтегралів І в лівій і правій частині рівності (*) являє собою вираз

 

,

 

де – яка-небудь первісна для , а С – довільна стала, яка може обиратися для цих інтегралів по різному. Тому інтеграл І в лівій і правій частині рівності (*) можуть відрізнятися на сталу.

2.3.3. Застосування методу інтегрування частинами
в комбінації з методом заміни змінної.

 

Приклад 2.12. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2)

 

 

 

.

 

3)

 

 

 

 

.

 

4)

 

.

 

Знайдемо методом заміни змінної.

 

 

 

 

.

 

Отже,

 

.

 


3. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ВИРАЗІВ,
ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

 

На практиці часто зустрічаються інтеграли, що містять квадратний тричлен у знаменнику підинтегрального виразу, а саме

 

; ;

 

; .

 

Наведемо алгоритми знаходження кожного з цих інтегралів і розглянемо відповідні приклади.

 

3.1. Знаходження інтегралу

(3.1)

 

Цей інтеграл знаходиться шляхом виділення повного квадрату з квадратного тричлену , що міститься в знаменнику підинтегрального виразу. В результаті одержується табличний інтеграл виду

 

або .

 

Дійсно, перетворимо квадратний тричлен у знаменнику так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів:

 

 

.

 

Позначимо

 

Тоді .

 

 

.

 

Одержано табличні інтеграли:

 

 

або

 

.

 

Приклад 3.1. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

3.2. Знаходження інтегралу

 

(3.2)

 

Аналогічно п. 3.1. перетворимо підкорінний вираз в зна­меннику підинтегральної функції так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів.

 

.

Тоді

а) якщо , оскільки , то .

Отже,

 

;

 

б) якщо , оскільки , то , де .

Отже,

 

.

 

Приклад 3.2. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2) .

 

 

 

 

.

3.3. Знаходження інтегралу

 

(3.3)

 

Цей інтеграл знаходиться шляхом виділення в чисельнику підинтегрального виразу похідної знаменника . Після зазначеного перетворення інтеграл представляється у вигляді суми двох інтегралів, один з яких є інтегралом .

Дійсно перетворимо підинтегральний вираз в інтегралі :

 

 

 

.

 

Знайдемо

 

 

.

 

Отже,

 

.

 

Приклад 3.3. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

 

Знайдемо перший доданок суми:

 

 

.

 

Знайдемо другий доданок суми:

 

 

.

 

Отже, даний інтеграл

 

.

2)

 

.

 

Знайдемо перший доданок суми:

 

 

.

 

Знайдемо другий доданок суми:

 

 

 

.

 

Отже, даний інтеграл

 

.

 

 

3)

 

 

 

 

 

.

 

 

4)

 

 

 

 

.

 

 

3.4. Знаходження інтегралу

 

(3.4)

 

Аналогічно п 3.3 для знаходження інтегралу застосують прийом виділення в чисельнику підинтегрального виразу похідної знаменника. Після зазначеного перетворення інтеграл представ­ляється у вигляді суми двох інтегралів, один з яких є інтегралом .

Дійсно, перетворимо підинтегральний вираз в інтегралі :

 

 

 

.

 

Знайдемо

 

 

.

 

 

Отже,

 

.

 

Приклад 3.4. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

 

Знайдемо

 

 

.

 

Знайдемо

 

 

 

.

Таким чином, даний інтеграл

 

.

 

2)

 

 

 

 

 

.

 


 

4. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Раціональні функції складають важливий клас функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції.

 

4.1. Деякі відомості про раціональні функції

 

4.1.1. Ціла раціональна функція

 

Означення. Многочленом (поліномом або цілою раціональною функцією) називається функція

 

, (4.1)

 

де – степінь многочлена (натуральне число);

– коефіцієнти многочлена (дійсні або комплексні числа).

Означення. Коренем многочлена (4.1) називається таке числове значення (дійсне або комплексне), при якому многочлен перетворюється в нуль, тобто .

Теорема 4.1. (Безу). Остача від ділення многочлена на різницю дорівнює .

Пояснимо зміст теореми Безу. При діленні многочлена -го степеня на двочлен першого степеня дістанемо деякий многочлен -го степеня і остачу – певне число:

 

. (4.2)

 

Теорема стверджує, що .

 

Зокрема, якщо – корінь многочлена , то

 

. (4.3)

 

Таким чином, з теореми Безу випливає

Наслідок. Якщо – корінь многочлена , то многочлен можна представити у вигляді добутку

 

. (4.4)

 

Виникає запитання. Чи всякий многочлен має корені? Позитивну відповідь на це запитання дає основна теорема алгебри.

Теорема 4.2 (основна теорема алгебри). Всякий многочлен степеня має хоча б один корінь (дійсний або комплексний).

З основної теореми алгебри випливає, що многочлен (4.1) завжди можна записати у вигляді (4.4). Неважко помітити (наприклад, з процедури ділення многочлена на двочлен «у стовпчик»), що старший коефіцієнт многочлена , тобто коефіцієнт при , дорівнює .

Приклад 4.1. Поділити многочлен на двочлен «у стовпчик».

Розв’язання.

 

Якщо степінь многочлена не дорівнює нулю, тобто , то до цього многочлена знов можна застосувати теорему 4.2 і наслідок з теореми Безу. Продовжуючи цей процес, приходимо до такого твердження.

Теорема 4.3. Всякий многочлен -го степеня можна подати у вигляді

 

, (4.5)

 

де – корені многочлена;

– старший коефіцієнт многочлена (коефіцієнт при ).

Вираз (4.5) називається розкладом многочлена на лінійні множники .

Якщо деякі з лінійних множників у виразі (4.5) однакові, то їх можна об’єднати. Тоді розклад (4.5) матиме вигляд

 

, (4.6)

 

де – число різних коренів;

– цілі числа, що називаються крайностями коренів

 

.

 

Корінь кратності одиниця називається простим.

Будемо надалі розглядати тільки многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Серед коренів представлення (4.6) можуть бути і комплексні числа. Справедливе наступне твердження.

Теорема 4.4. Нехай + і – комплексний корінь многочлена (4.1) з дійсними коефіцієнтами. Тоді комплексно-спряжене число
– і також є коренем цього многочлена.

Перемножимо лінійні множники, що відповідають комплексно-спряженим кореням + і і – і у розкладі (4.6)

 

 

,

 

де , – дійсні числа.

Одержано квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами і від’ємним дискримінантом

 

.

 

Об’єднуючи у формулі (4.6) множники із комплексно-спряженими коренями, дістанемо

 

.

 

де – кратності дійсних коренів;

– кратності комплексно-спряжених коренів;

;

; ; – дійсні числа

 

Висновок. Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти (і притому єдиним способом) на лінійні та квадратичні (з від’ємним дискримінантом) множники з дійсними коефіцієнтами.

Приклад 4.2.Розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами многочлени

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

1) Розглянемо квадратний тричлен . Його дискри­мінант . При розкладанні на множ­ники квадратного тричлена у випадку користу­ються формулою

 

,

 

де – корені рівняння , що знаходяться за формулою

 

.

 

Знайдемо корені рівняння .

 

, .

Тому .

 

2) Розглянемо многочлен .

Для розкладання на множники застосуємо спосіб групування:

 

 

 

.

 

Перевіримо, чи можна розкласти на лінійні множники з дійсними коефіцієнтами квадратний тричлен . Обчислимо його дискримінант . Дискримінант додатній. Обчислимо дійсні корені квадратного тричлена

 

.

 

Таким чином, .

Тому, .

 

3) Легко перевірити підстановкою у многочлен , що є коренем многочлена. За наслідком з теореми Безу (4.4) даний многочлен ділиться без остачі на двочлен . Виконаємо це ділення «у стовпчик».

 

 

Маємо:

 

.

 

Оскільки дискримінант квадратного тричлену , то здійснити розклад квадратного тричлену на лінійні множники з дійсними коефіцієнтами неможливо.

Кінцевий результат: .

 

Справедливі наступні твердження.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Практикум з вищої математики

Харківський національний автомобільно дорожній університет.. Т О Ярхо Т В Ємел янова..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Приклад 2.4.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Т. О. Ярхо
Практикум з вищої математики. Невизначений інтеграл : Навчально-методичний порадник / Т. О. Ярхо, Т. В. Ємел’янова, О. В. Небратенко, Т. Б. Фастовська. – Харків: ХНАДУ, 2011. – 192 с.

Твердження 4.2.
Якщо многочлени тотожно дорівнюють один одному, то вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях .

Метод окремих значень аргументу
Помножимо обидві частини рівності (4.12) на знаменник даного дробу , внаслідок чого дістанемо два тотожно рівних многочлени: зліва відомий

Інтеграли виду
, (6.1)   де – натуральні числа;

Інтеграли виду
(6.3) де – натуральні числа;

Інтеграли виду
(6.7)   (6.8)  

Інтеграли виду
(6.13) (). Даний інтеграл за

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги