Твердження 4.2.

Якщо многочлени тотожно дорівнюють один одному, то вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях .

 

4.1.2. Дробово-раціональна функція

 

Означення. Дробово-раціональною функцією (раціональним дробом) називається відношення двох многочленів:

 

. (4.8)

 

Зауважимо, що клас раціональних функцій уявляє собою сукупність цілих раціональних і дробово раціональних функцій.

Означення. Дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менше, ніж степінь знаменника . У протилежному випадку дріб називається неправильним.

 

Приклад 4.3.

 

– правильний дріб,

 

– неправильний дріб.

 

Якщо раціональний дріб неправильний, то виконавши ділення, його можна представити у вигляді суми многочлену і правильного раціонального дробу :

 

. (4.9)

 

Приклад 4.4.Виділити цілу частину неправильного раціонального дробу

 

.

 

Розв’язання. Виконаємо ділення чисельника на знаменник «у стовпчик».

 

 

Отже, .

 

Означення. Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби наступних чотирьох видів:

 

І. ; ІІ. ;

(4.10)

ІІІ. ; ІV. .

 

де – дійсні числа; .

 

 

4.2. Розклад правильного раціонального дробу
на елементарні дроби

 

Виявляється, що всякий правильний раціональний дріб може бути єдиним чином представленим у вигляді суми скінченної кількості елементарних дробів. Таке представлення безпосередньо пов’язане із розкладом знаменника дробу на множники.

 

 

4.2.1. Теоретичне обґрунтування

 

Теорема 4.5. Нехай дано правильний раціональний дріб , причому многочлен має вигляд:

 

, (4.11)

 

де – кратності дійсних коренів;

– кратності комплексно-спряжених коренів.

 

Тоді даний дріб можна єдиним чином представити у вигляді:

 

(4.12)

 

де – деякі дійсні числа

Вираз (4.12) називається розкладом правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

Пояснимо зміст теореми 4.5.

1. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменника даного дробу відповідає сума елементарних дробів виду

 

 

в розкладі (4.12) даного дробу.

Аналогічні твердження справедливі для множників

 

.

 

2. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменника даного дробу відповідає сума елементарних дробів виду

 

 

в розкладі (4.12) даного дробу.

Аналогічні твердження справедливі для множників

 

.

 

З теореми 4.5 випливає наступний алгоритм розкладу правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

 

4.2.2. Алгоритм розкладу правильного раціонального дробу
на елементарні дроби

 

1. Розкласти знаменник на лінійні і квадратичні множники з дійсними коефіцієнтами (квадратичні множники не мають дійсних коренів).

2. Записати розклад даного правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (за 4.12).

3. Одержану рівність умножити на знаменник .

4. Знайти невідомі коефіцієнти одним з методів, що наведені в наступному п 4.2.3.

 

4.2.3. Методи знаходження невідомих коефіцієнтів
у розкладі правильного раціонального дробу

 

Наведемо два найбільш розповсюджених методи знаходження невідомих коефіцієнтів в чисельниках елементарних дробів розкладу (4.12).