Якщо многочлени тотожно дорівнюють один одному, то вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях .
4.1.2. Дробово-раціональна функція
Означення. Дробово-раціональною функцією (раціональним дробом) називається відношення двох многочленів:
. (4.8)
Зауважимо, що клас раціональних функцій уявляє собою сукупність цілих раціональних і дробово раціональних функцій.
Означення. Дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менше, ніж степінь знаменника . У протилежному випадку дріб називається неправильним.
Приклад 4.3.
– правильний дріб,
– неправильний дріб.
Якщо раціональний дріб неправильний, то виконавши ділення, його можна представити у вигляді суми многочлену і правильного раціонального дробу :
. (4.9)
Приклад 4.4.Виділити цілу частину неправильного раціонального дробу
.
Розв’язання. Виконаємо ділення чисельника на знаменник «у стовпчик».
Отже, .
Означення. Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби наступних чотирьох видів:
І. ; ІІ. ;
(4.10)
ІІІ. ; ІV. .
де – дійсні числа; .
4.2. Розклад правильного раціонального дробу
на елементарні дроби
Виявляється, що всякий правильний раціональний дріб може бути єдиним чином представленим у вигляді суми скінченної кількості елементарних дробів. Таке представлення безпосередньо пов’язане із розкладом знаменника дробу на множники.
4.2.1. Теоретичне обґрунтування
Теорема 4.5. Нехай дано правильний раціональний дріб , причому многочлен має вигляд:
, (4.11)
де – кратності дійсних коренів;
– кратності комплексно-спряжених коренів.
Тоді даний дріб можна єдиним чином представити у вигляді:
(4.12)
де – деякі дійсні числа
Вираз (4.12) називається розкладом правильного раціонального дробу на елементарні дроби.
Пояснимо зміст теореми 4.5.
1. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменника даного дробу відповідає сума елементарних дробів виду
в розкладі (4.12) даного дробу.
Аналогічні твердження справедливі для множників
.
2. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменника даного дробу відповідає сума елементарних дробів виду
в розкладі (4.12) даного дробу.
Аналогічні твердження справедливі для множників
.
З теореми 4.5 випливає наступний алгоритм розкладу правильного раціонального дробу на елементарні дроби.
4.2.2. Алгоритм розкладу правильного раціонального дробу
на елементарні дроби
1. Розкласти знаменник на лінійні і квадратичні множники з дійсними коефіцієнтами (квадратичні множники не мають дійсних коренів).
2. Записати розклад даного правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (за 4.12).
3. Одержану рівність умножити на знаменник .
4. Знайти невідомі коефіцієнти одним з методів, що наведені в наступному п 4.2.3.
4.2.3. Методи знаходження невідомих коефіцієнтів
у розкладі правильного раціонального дробу
Наведемо два найбільш розповсюджених методи знаходження невідомих коефіцієнтів в чисельниках елементарних дробів розкладу (4.12).