, (6.1)
де – натуральні числа;
– раціональна функція аргументів .
Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою
, (6.2)
де – найменше спільне кратне знаменників дробів
.
Дійсно,
,
де – раціональна функція від (оскільки – цілі числа).
Приклад 6.1. Знайти інтеграли
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Розв’язання.
1) Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 6:
НСК(2,3) = 6. Тому застосуємо підстановку .
.
2) Представимо даний інтеграл у вигляді:
.
Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 4. Тому застосуємо підстановку .
.
Виділимо цілу частину
.
3)
.
Запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:
.
.
Таким чином,
.
Повернемося до змінної ():
.
4) .
Одержано інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділяючи цілу частину, маємо
.
Для знаходження останнього інтегралу запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:
,
звідки
.
Маємо,
.
Повертаючись до змінної (), одержимо кінцевий результат:
.