Інтеграли виду

, (6.1)

 

де – натуральні числа;

– раціональна функція аргументів .

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

 

, (6.2)

 

де – найменше спільне кратне знаменників дробів

 

.

 

Дійсно,

 

 

,

 

де – раціональна функція від (оскільки – цілі числа).

Приклад 6.1. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1) Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 6:

 

НСК(2,3) = 6. Тому застосуємо підстановку .

 

 

 

.

 

2) Представимо даний інтеграл у вигляді:

 

.

 

Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 4. Тому застосуємо підстановку .

 

.

 

Виділимо цілу частину

 

 

.

 

3)

 

.

 

Запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

 

.

 

.

 

 

Таким чином,

 

.

 

Повернемося до змінної ():

 

 

.

 

4) .

 

Одержано інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділяючи цілу частину, маємо

 

.

 

Для знаходження останнього інтегралу запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

 

,

 

звідки

 

.

 

 

Маємо,

 

.

 

Повертаючись до змінної (), одержимо кінцевий результат:

 

.