Інтеграли виду

(6.3)

де – натуральні числа;

– раціональна функція своїх аргументів.

 

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

 

, (6.4)

де – найменше спільне кратне знаменників дробів :

 

.

 

Приклад 6.2. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1) Введемо підстановку.

Виразимо через :

 

;

;

.

.

.

 

Тому

 

.

 

2) Застосуємо підстановку

 

,

 

звідки ; .

 

.

 

.

 

Отже,

 

 

.

 

3) Застосуємо підстановку

 

,

 

звідки , . Тому

 

.

 

Представимо підинтегральну функцію у вигляді

 

.

 

Після почленного ділення чисельника дробу на знаменник одержуємо

 

 

, де .

 

Зауважимо, що інтеграли виду

 

(6.5)

 

є окремим випадком інтегралів (6.3) коли ().

Інтеграли (6.5) раціоналізуються підстановкою

 

(6.6)

 

Приклад 6.3. Знайти інтеграл

 

.

Розв’язання.

 

 

 

.