Из теоретической механики известно, что равнодействующая всех сил R, действующих на тело массой mT и скоростью сT, отстоящее от оси вращения на расстоянии r, создает крутящий момент относительно оси О-О (рисунок 2.20):
| 2.6.1 |
Рисунок 2.20 – К пояснению понятия момента количества движения
Крутящий момент равен изменению момента количества движения в единицу времени:
| 2.6.2 |
Рассмотрим участок стационарного потока рабочего тела в канале межлопаточном произвольной формы (рисунок 2.3). Его форма, а также все параметры потока на входе и выходе известны. Рассматриваемый участок разделяется на бесконечное число элементарных струек. Каждая из них представляет собой цилиндр с криволинейной образующей, поперечное сечение которого настолько мало, что значения параметров потока в любой его точке можно считать одним и тем же.
Рассмотрим течение рабочего тела через любую случайно выбранную элементарную струйку. В начальный момент времени выделенный объем находился в положении 1-2. Через бесконечно малый отрезок времени dt он переместиться в положение 3-4 (рисунок 2.21). Отрезок времени dt принимается настолько малым, что параметры потока в каждом сечении в его начальный и конечный момент можно считать неизменными (с1u= с3u; с2u= с4u; r2=r4; r1=r3 и т.д.).
Рисунок 2.21 – Схема течения в канале произвольной формы
Равнодействующая сил, действующая на рассматриваемую струйку , относительно оси О-О создает крутящий момент
Как видно из рисунка 2.21, область 3-2 является общей для начального и конечного положения рабочего тела. Поэтому рассматриваемое движение может быть представлено следующим образом: в неизменный в течении dt времени объем 3-2 втекает объем 1-3 и вытекает 2-4. То есть, изменение момента количества движения рассматриваемой струйки относительно оси О-О за время dt равно разности моментов количества движения масс 1-3 и 2-4 относительно той же оси:
| 2.6.3 |
Поскольку рассматривается установившееся движение, то . Учитывая, что отношение массы элемента ко времени равно расходу рабочего тела через элементарную струйку окончательно имеем:
| 2.6.4 |
Запишем для всех струек уравнения моментов количества движения и сложим между собой. Если для всех элементарных струек одинаковы значения и , а на выходе одинаковы и , тогда получим:
| 2.6.5 |
Умножим обе части последнего уравнения на величину угловой скорости w, затем разделим обе части на расход рабочего тела G.
| 2.6.6 |
Левая часть уравнения представляет собой удельную работу на окружности колеса элементарного лопаточного венца:
Кроме того, учитывая, что произведение угловой скорости w на радиус r равно окружной скорости , окончательно получим:
| 2.6.7а |
Данное уравнение называется уравнением моментов количества движения применительно к лопаточным машинам. Оно было также выведено Л. Эйлером.
Это уравнение устанавливает связь работы, передаваемой лопатками потоку, с кинематическими параметрами потока.
Для осевых лопаточных машин . Поэтому уравнение примет вид:
| 2.6.7б |
Запишем это уравнение применительно к компрессору и турбине. Форма записи для компрессора полностью совпадает с канонической формой (2.6.7). В турбине же работа совершается газом по вращению РК, поэтому знаки в правой части меняются на противоположные ( ).
Окончательно имеем для компрессора:
| ; | 2.6.8к |
для турбины:
| 2.6.8т |
Сопоставляя уравнения 2.6.8к и 2.6.8т можно сделать выводу о том, что компрессор и турбина являются обращенными машинами, поскольку уравнения описывающие процессы в них имеют одинаковую форму, но имеют разные знаки.
Полученные уравнения имеют большое значение в теории турбомашин. Несомненным достоинством уравнения моментов количества движения является то, что его использование не требует знания распределения давления по поверхности лопаток. Надо только знать кинематические параметры на входе и выходе из РК.