Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности является записью закона сохранения массы применительно к течению рабочего тела в лопаточных машинах.

Рассмотрим участок стационарного потока рабочего тела в канале произвольной формы (рисунок 2.3). Его форма, а также все параметры потока на входе и выходе известны. Рассматриваемый участок разделяется на z элементарных струек. Каждая из них представляет собой цилиндр с криволинейной образующей, поперечное сечение которого настолько мало, что значения параметров потока на его протяжении можно считать постоянными.

Рассмотрим течение рабочего тела через любую случайно выбранную элементарную струйку. В начальный момент времени выделенный объем находился в положении 1-2. Через бесконечно малый отрезок времени dt он переместится в положение 3-4 (рисунок 2.4). Отрезок времени dt принимается настолько малым, что параметры потока в каждом сечении в его начальный и конечный момент можно считать неизменными (с_1n= с_3n; с_2n= с_4n; r₂=r₄; r₁=r₃ и т.д.)

 

Рисунок 2.3 – Схема течения в канале произвольной формы

 

Рисунок 2.4 – Течение газа через произвольную элементарную струйку

Как видно из рисунка 2.4, область 3-2 является общей для начального и конечного положения рабочего тела. Поэтому рассматриваемое движение может быть представлено следующим образом: в неизменный в течении dt времени объем 3-2 втекает объем 1-3 и вытекает 2-4. Очевидно, что согласно закону сохранения массы для установившегося течения, массы втекающего и вытекающего объемов равны:

.

2.2.1

Втекающая через границу 3 масса может быть найдена как произведение объема 1-3 на плотность рабочего тела во входном сечении . Объем равен произведению поперечной площади элементарной струйки на ее длину, которая в свою очередь зависит от скорости потока в направлении нормальном поверхности течения и времени течения :

.

2.2.2а

Аналогично можно найти массу вытекающего рабочего тела:

.

2.2.2б

Приравняв входящую и выходящую массы рабочего тела и поделив обе части выражения на время , можно прийти к равенству, справедливому для рассматриваемой струйки:

2.2.3

При этом стоит отметить, что отношение массы, проходящей через рассматриваемый объем, ко времени рассмотрения – есть ни что иное как расход рабочего тела в единицу времени.

Аналогичные выражения могут быть записаны для любой другой элементарной струйки:

…...   …...

2.2.4

Сложим эти равенства:

2.2.5

а затем перейдем к бесконечно малым dF₁, dF₂.

2.2.6

Учитывая возможный подвод/ отвод рабочего тела в контролируемом объеме через боковые поверхности, которым ранее пренебрегали, окончательно можно получить следующее выражение:

2.2.7

где – расход подводимого рабочего тела между контрольными сечениями;

– утечки из контрольного объема;

Проинтегрировав, окончательно имеем:

.

2.2.8а

В лопаточных машинах величины утечек и втеканий, как правило, значительно меньше расхода рабочего тела и ими обычно пренебрегают. Уравнение неразрывности при этом имеет вид:

.

2.2.8б

Это уравнение является классической формой записи уравнения неразрывности. Оно справедливо для всех случаев установившегося течения жидкостей и газов.

Уравнение неразрывности устанавливает связь между параметрами состояния рабочего тела, скоростью и размерами канала.

Однако оно не позволяет установить связь параметров потока с величиной подводимой (или отводимой) работы, в этом его ограниченность. Это делается с помощью уравнений энергии, которые будут рассмотрены в разделе 2.2.

Из уравнения 2.2.8 следует, что расход жидкости или газа в любом сечении определяется плотностью рабочего тела, площадью сечения, через которую происходит рабочее тело и составляющей скорости потока нормальной к поперечному сечению потока. Здесь следует особенно подчеркнуть, что во всех формах записи уравнения неразрывности фигурирует именно проекция скорости нормальная к поверхности течения. Если говорить о лопаточных машинах, то для радиального течения на выходе из ЦБК или входе центростремительной турбины расход определяется радиальной составляющей. Для осевых лопаточных машин, а также осевых участков радиальных турбомашин расход рабочего тела определяется осевой составляющей скорости.

Рисунок 2.5 – Одномерная расчетная модель ступени осевого компрессора с нормальными скоростями

Пример 1: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для одномерной модели течения газа в ступени осевого компрессора. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.

Схема одномерной модели течения газа в ступени осевого компрессора показана на рисунке 2.5. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «3» (см. раздел 1.7.3). Как отмечалось ранее, расход определяется составляющей скорости, нормальной к поверхностям течения (в рассматриваемом случае сечения 1 и 3). К ним нормальны осевые проекции скорости потока . Учитывая это, для данного примера уравнение неразрывности будет иметь вид.

.

Пример 2: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для выходного сечения двухмерной модели течения газа в ступени осевой турбины. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.

Схема двухмерной модели течения газа в ступени осевой турбины показана на рисунке 2.6 Сечение на ее входе имеет индекс «0», на выходе «2» (см. раздел 1.7.3). Нормальными к поперечному сечению являются, как и в предыдущем примере, осевые составляющие скорости . Поэтому уравнение неразрывности в классическом виде для выходного сечения этой схемы будет иметь вид:

.

Рисунок 2.7 – Одномерная модель РК ЦБК с характерными скоростями

Пример 3: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для одномерной модели течения газа в РК ЦБК. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.

Рисунок 2.6 – Двухмерная расчетная модель ступени осевой турбины с характерными скоростями

Схема одномерной модели течения газа в РК ЦБК показана на рисунке 2.7. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «2» (см. раздел 1.7.3). На входе в РК нормальным к поперечному сечению будет осевое направление, а на выходе - радиальное. Поэтому уравнение неразрывности в классическом виде для этой схемы будет иметь вид:

.

Применим уравнение 2.2.8б к течению газа в турбомашинах. Для этого следует переписать его в несколько ином виде:

2.2.9

Рисунок 2.7 – Одномерная модель РК ЦБК с характерными скоростями

В компрессоре происходит сжатие газа, которое сопровождается ростом его давления и плотности ; . Для упрощения дальнейшего вывода примем, что нормальные скорости на входе и выходе из компрессора равны . Это допущение является вполне правомочным, поскольку достаточно часто лопаточные машины проектируются именно в таком предположении. В любом случае, влияние изменения нормальной скорости на расход значительно меньше, чем влияние плотности.

Учитывая неизменность скорости и рост плотности, на основании анализа уравнения 2.2.9 можно прийти к выводу, что для компрессора справедливо соотношение:

 

Рисунок 2.8 – Схема проточной части осевого компрессора

То есть, площадь проходного сечения на входе в компрессор больше площади выходного сечения. Данное обстоятельство обуславливает сужающуюся к выходу форму меридионального сечения проточной части компрессора и уменьшение высоты лопатки (рисунок 2.8). Здесь особо следует подчеркнуть, что именно уменьшение высоты лопатки является следствием повышения давления в компрессоре (т.е. его нормального функционирования), а не причиной, вопреки часто встречающемуся заблуждению.

Аналогично уравнение 2.2.9 можно применить к течению газа в турбине с теми же допущениями . В турбине происходит процесс расширения газа, сопровождающийся снижением давления и плотности рабочего тела ; . Неизменность скорости и снижение плотности газа приводят к тому, что для турбины справедливо неравенство:

Рисунок 2.9 – Схема проточной части осевой турбины

То есть, площадь проходного сечения на входе в турбину меньше площади выходного сечения. Данное обстоятельство обуславливает расширяющуюся к выходу форму меридионального сечения проточной части турбины и рост высоты лопатки (рисунок 2.9). Здесь также следует подчеркнуть, что увеличение высоты лопатки является именно следствием расширения газа в турбине, а не причиной.

При расчете и проектировании элементов ГТУ как авиационного, так и наземного назначения полученной ранее формулой 2.2.8 пользоваться не удобно по той причине, что в большинстве случаев известны не статические параметры потока, входящие в уравнение, а заторможенные.

Плотность рабочего тела может быть найдена с помощью плотности заторможенного потока с помощью ГДФ :

2.2.10

где

2.2.11

Подставляя найденное выражение в уравнение 2.2.8б получим:

2.2.12

Правая часть выражения умножается и делится на и на :

2.2.13

Учитывая, что отношение физической скорости к критической – приведенная скорость , а , то предыдущее выражение запишется в следующем виде:

2.2.14

 

 

Таким образом, окончательно можно записать:

2.2.15

где – константа, зависящая только от свойств рабочего тела. Для воздуха ее значение равно , а для продуктов сгорания керосина . Это уравнение неразрывности, записанное через параметры торможения.

Рисунок 2.10 – Двухмерная расчетная модель лопаточного диффузора ЦБК с характерными скоростями

Это уравнение часто используется в практике проектирования и анализа рабочего процесса ГТУ и ее узлов (в частности турбомашин) в тех случаях, когда необходимо найти расход воздуха или площадь проходного сечения. Для иллюстрации применения полученного уравнения ниже разбираются несколько примеров.

Пример 4: Запишите уравнение неразрывности в параметрах торможения для выходного сечения двухмерной модели течения газа в лопаточном диффузоре ЦБК.

Схема двухмерной модели течения газа в лопаточном диффузоре ЦБК показана на рисунке 2.10. Сечение на ее входе имеет индекс «3», на выходе «4». Нормальным направлением к площади поперечного сечения, как на входе, так и выходе является радиальное. Поэтому уравнение неразрывности в параметрах торможения для выходного сечения лопаточного диффузора ЦБК будет иметь вид:

 

Пример 5: Запишите уравнение неразрывности в параметрах торможения для входного сечения одномерной модели ступени осевой турбины.

Схема одномерной модели течения газа в осевой турбине показана на рисунке 2.9. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «2». Нормальным направлением к поверхности входного сечения будет осевое направление. Поэтому уравнение неразрывности в параметрах торможения для этой схемы будет иметь вид:

 

Пример 6: Для компрессора известны: скорость потока на входе ; периферийный и втулочный диаметры проточной части и , а также параметры рабочего тела на входе . Нужно определить расход воздуха через компрессор G, если известно, что вектор скорости имеет осевое направление.

Расход воздуха через компрессор в данной задаче может быть найден двумя способами: с помощью уравнения неразрывности в классическом виде и в параметрах торможения.

В первом случае расход находится по формуле:

 

Площадь сечения находится по формуле площади кольца.

 

Плотность рабочего тела находится по уравнению состояния идеального газа:

 

где - универсальная газовая постоянная для воздуха.

Поскольку направление потока осевое, то .

Подставляя все в одну формулу в итоге получим:

 

Эта же задача может быть решена с помощью формулы:

 

Для того чтобы ей воспользоваться необходимо вычислить число Маха:

 

С помощью числа Маха по таблицам ГДФ определяются функции ; и . С их помощью находятся полные давления и температура в рассматриваемом сечении:

 

 

Поскольку направление потока осевое, то и .

Тогда

 

Как видно оба способа показывают одинаковые результаты с небольшой погрешностью вызванной округлением и точностью использования ГДФ.

Пример 7: Определите высоту лопатки на входе в турбину , если известны параметры потока в рассматриваемом сечении , средний диаметр и расход рабочего тела Скорость потока в рассматриваемом сечении равна и направлена под углом к фронту решетки. Рабочее тело – продукты сгорания керосина (k=1,33; R=288Дж/кг×К)

Высота лопатки с помощью известного среднего диаметра может быть вычислена через площадь поперечного сечения:

 

Площадь находится с помощью уравнения неразрывности в параметрах торможения (уравнение 2.2.15):

 

В этой формуле известны все составляющие кроме функции Она ищется с помощью таблиц ГДФ по величине :

 

Этой величине соответствует

Окончательно имеем:

 

В заключение следует отметить, что в задачах вычислительной газовой динамики уравнение неразрывности применяется в дифференциальном виде:

2.2.16

Вывод этого уравнения приведен в [9].