Реферат Курсовая Конспект
Уравнение неразрывности - раздел Математика, Глава 2 – Базовые уравнения теории лопаточных машин и общие закономерности их рабочего процесса Уравнение Неразрывности Является Записью Закона Сохранения Массы Применительн...
|
Уравнение неразрывности является записью закона сохранения массы применительно к течению рабочего тела в лопаточных машинах.
Рассмотрим участок стационарного потока рабочего тела в канале произвольной формы (рисунок 2.3). Его форма, а также все параметры потока на входе и выходе известны. Рассматриваемый участок разделяется на z элементарных струек. Каждая из них представляет собой цилиндр с криволинейной образующей, поперечное сечение которого настолько мало, что значения параметров потока на его протяжении можно считать постоянными.
Рассмотрим течение рабочего тела через любую случайно выбранную элементарную струйку. В начальный момент времени выделенный объем находился в положении 1-2. Через бесконечно малый отрезок времени dt он переместится в положение 3-4 (рисунок 2.4). Отрезок времени dt принимается настолько малым, что параметры потока в каждом сечении в его начальный и конечный момент можно считать неизменными (с1n= с3n; с2n= с4n; r2=r4; r1=r3 и т.д.)
Рисунок 2.3 – Схема течения в канале произвольной формы
Рисунок 2.4 – Течение газа через произвольную элементарную струйку
Как видно из рисунка 2.4, область 3-2 является общей для начального и конечного положения рабочего тела. Поэтому рассматриваемое движение может быть представлено следующим образом: в неизменный в течении dt времени объем 3-2 втекает объем 1-3 и вытекает 2-4. Очевидно, что согласно закону сохранения массы для установившегося течения, массы втекающего и вытекающего объемов равны:
. | 2.2.1 |
Втекающая через границу 3 масса может быть найдена как произведение объема 1-3 на плотность рабочего тела во входном сечении . Объем равен произведению поперечной площади элементарной струйки на ее длину, которая в свою очередь зависит от скорости потока в направлении нормальном поверхности течения и времени течения :
. | 2.2.2а |
Аналогично можно найти массу вытекающего рабочего тела:
. | 2.2.2б |
Приравняв входящую и выходящую массы рабочего тела и поделив обе части выражения на время , можно прийти к равенству, справедливому для рассматриваемой струйки:
2.2.3 |
При этом стоит отметить, что отношение массы, проходящей через рассматриваемый объем, ко времени рассмотрения – есть ни что иное как расход рабочего тела в единицу времени.
Аналогичные выражения могут быть записаны для любой другой элементарной струйки:
…... …... | 2.2.4 |
Сложим эти равенства:
2.2.5 |
а затем перейдем к бесконечно малым dF1, dF2.
2.2.6 |
Учитывая возможный подвод/ отвод рабочего тела в контролируемом объеме через боковые поверхности, которым ранее пренебрегали, окончательно можно получить следующее выражение:
2.2.7 |
где – расход подводимого рабочего тела между контрольными сечениями;
– утечки из контрольного объема;
Проинтегрировав, окончательно имеем:
. | 2.2.8а |
В лопаточных машинах величины утечек и втеканий, как правило, значительно меньше расхода рабочего тела и ими обычно пренебрегают. Уравнение неразрывности при этом имеет вид:
. | 2.2.8б |
Это уравнение является классической формой записи уравнения неразрывности. Оно справедливо для всех случаев установившегося течения жидкостей и газов.
Уравнение неразрывности устанавливает связь между параметрами состояния рабочего тела, скоростью и размерами канала.
Однако оно не позволяет установить связь параметров потока с величиной подводимой (или отводимой) работы, в этом его ограниченность. Это делается с помощью уравнений энергии, которые будут рассмотрены в разделе 2.2.
Из уравнения 2.2.8 следует, что расход жидкости или газа в любом сечении определяется плотностью рабочего тела, площадью сечения, через которую происходит рабочее тело и составляющей скорости потока нормальной к поперечному сечению потока. Здесь следует особенно подчеркнуть, что во всех формах записи уравнения неразрывности фигурирует именно проекция скорости нормальная к поверхности течения. Если говорить о лопаточных машинах, то для радиального течения на выходе из ЦБК или входе центростремительной турбины расход определяется радиальной составляющей. Для осевых лопаточных машин, а также осевых участков радиальных турбомашин расход рабочего тела определяется осевой составляющей скорости.
Рисунок 2.5 – Одномерная расчетная модель ступени осевого компрессора с нормальными скоростями |
Схема одномерной модели течения газа в ступени осевого компрессора показана на рисунке 2.5. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «3» (см. раздел 1.7.3). Как отмечалось ранее, расход определяется составляющей скорости, нормальной к поверхностям течения (в рассматриваемом случае сечения 1 и 3). К ним нормальны осевые проекции скорости потока . Учитывая это, для данного примера уравнение неразрывности будет иметь вид.
.
Пример 2: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для выходного сечения двухмерной модели течения газа в ступени осевой турбины. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.
Схема двухмерной модели течения газа в ступени осевой турбины показана на рисунке 2.6 Сечение на ее входе имеет индекс «0», на выходе «2» (см. раздел 1.7.3). Нормальными к поперечному сечению являются, как и в предыдущем примере, осевые составляющие скорости . Поэтому уравнение неразрывности в классическом виде для выходного сечения этой схемы будет иметь вид:
.
Рисунок 2.7 – Одномерная модель РК ЦБК с характерными скоростями |
Рисунок 2.6 – Двухмерная расчетная модель ступени осевой турбины с характерными скоростями |
.
Применим уравнение 2.2.8б к течению газа в турбомашинах. Для этого следует переписать его в несколько ином виде:
2.2.9 |
Рисунок 2.7 – Одномерная модель РК ЦБК с характерными скоростями |
Учитывая неизменность скорости и рост плотности, на основании анализа уравнения 2.2.9 можно прийти к выводу, что для компрессора справедливо соотношение:
Рисунок 2.8 – Схема проточной части осевого компрессора |
Аналогично уравнение 2.2.9 можно применить к течению газа в турбине с теми же допущениями . В турбине происходит процесс расширения газа, сопровождающийся снижением давления и плотности рабочего тела ; . Неизменность скорости и снижение плотности газа приводят к тому, что для турбины справедливо неравенство:
Рисунок 2.9 – Схема проточной части осевой турбины |
То есть, площадь проходного сечения на входе в турбину меньше площади выходного сечения. Данное обстоятельство обуславливает расширяющуюся к выходу форму меридионального сечения проточной части турбины и рост высоты лопатки (рисунок 2.9). Здесь также следует подчеркнуть, что увеличение высоты лопатки является именно следствием расширения газа в турбине, а не причиной.
При расчете и проектировании элементов ГТУ как авиационного, так и наземного назначения полученной ранее формулой 2.2.8 пользоваться не удобно по той причине, что в большинстве случаев известны не статические параметры потока, входящие в уравнение, а заторможенные.
Плотность рабочего тела может быть найдена с помощью плотности заторможенного потока с помощью ГДФ :
2.2.10 |
где
2.2.11 |
Подставляя найденное выражение в уравнение 2.2.8б получим:
2.2.12 |
Правая часть выражения умножается и делится на и на :
2.2.13 |
Учитывая, что отношение физической скорости к критической – приведенная скорость , а , то предыдущее выражение запишется в следующем виде:
2.2.14 |
Таким образом, окончательно можно записать:
2.2.15 |
где – константа, зависящая только от свойств рабочего тела. Для воздуха ее значение равно , а для продуктов сгорания керосина . Это уравнение неразрывности, записанное через параметры торможения.
Рисунок 2.10 – Двухмерная расчетная модель лопаточного диффузора ЦБК с характерными скоростями |
Пример 4: Запишите уравнение неразрывности в параметрах торможения для выходного сечения двухмерной модели течения газа в лопаточном диффузоре ЦБК.
Схема двухмерной модели течения газа в лопаточном диффузоре ЦБК показана на рисунке 2.10. Сечение на ее входе имеет индекс «3», на выходе «4». Нормальным направлением к площади поперечного сечения, как на входе, так и выходе является радиальное. Поэтому уравнение неразрывности в параметрах торможения для выходного сечения лопаточного диффузора ЦБК будет иметь вид:
Пример 5: Запишите уравнение неразрывности в параметрах торможения для входного сечения одномерной модели ступени осевой турбины.
Схема одномерной модели течения газа в осевой турбине показана на рисунке 2.9. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «2». Нормальным направлением к поверхности входного сечения будет осевое направление. Поэтому уравнение неразрывности в параметрах торможения для этой схемы будет иметь вид:
Пример 6: Для компрессора известны: скорость потока на входе ; периферийный и втулочный диаметры проточной части и , а также параметры рабочего тела на входе . Нужно определить расход воздуха через компрессор G, если известно, что вектор скорости имеет осевое направление.
Расход воздуха через компрессор в данной задаче может быть найден двумя способами: с помощью уравнения неразрывности в классическом виде и в параметрах торможения.
В первом случае расход находится по формуле:
Площадь сечения находится по формуле площади кольца.
Плотность рабочего тела находится по уравнению состояния идеального газа:
где - универсальная газовая постоянная для воздуха.
Поскольку направление потока осевое, то .
Подставляя все в одну формулу в итоге получим:
Эта же задача может быть решена с помощью формулы:
Для того чтобы ей воспользоваться необходимо вычислить число Маха:
С помощью числа Маха по таблицам ГДФ определяются функции ; и . С их помощью находятся полные давления и температура в рассматриваемом сечении:
Поскольку направление потока осевое, то и .
Тогда
Как видно оба способа показывают одинаковые результаты с небольшой погрешностью вызванной округлением и точностью использования ГДФ.
Пример 7: Определите высоту лопатки на входе в турбину , если известны параметры потока в рассматриваемом сечении , средний диаметр и расход рабочего тела Скорость потока в рассматриваемом сечении равна и направлена под углом к фронту решетки. Рабочее тело – продукты сгорания керосина (k=1,33; R=288Дж/кг×К)
Высота лопатки с помощью известного среднего диаметра может быть вычислена через площадь поперечного сечения:
Площадь находится с помощью уравнения неразрывности в параметрах торможения (уравнение 2.2.15):
В этой формуле известны все составляющие кроме функции Она ищется с помощью таблиц ГДФ по величине :
Этой величине соответствует
Окончательно имеем:
В заключение следует отметить, что в задачах вычислительной газовой динамики уравнение неразрывности применяется в дифференциальном виде:
2.2.16 |
Вывод этого уравнения приведен в [9].
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
В данном разделе будут подробно рассмотрены основные уравнения ле жащие в основе теории лопаточных машин Рассматриваемые уравнения пред ставляют... Для упрощения получаемых соотношений при выводе уравнений будет по лагаться... Сделанные допущения позволят упростить получение и анализ рассматри ваемых уравнений Однако это принципиально не...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение неразрывности
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов