рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности - раздел Математика, Базовые уравнения теории лопаточных машин и общие закономерности их рабочего процесса Уравнение Неразрывности Является Записью Закона Сохранения Массы Применительн...

Уравнение неразрывности является записью закона сохранения массы применительно к течению рабочего тела в лопаточных машинах.

Рассмотрим участок стационарного потока рабочего тела в канале произвольной формы (рисунок 2.3). Его форма, а также все параметры потока на входе и выходе известны. Рассматриваемый участок разделяется на z элементарных струек. Каждая из них представляет собой цилиндр с криволинейной образующей, поперечное сечение которого настолько мало, что значения параметров потока на его протяжении можно считать постоянными.

Рассмотрим течение рабочего тела через любую случайно выбранную элементарную струйку. В начальный момент времени выделенный объем находился в положении 1-2. Через бесконечно малый отрезок времени dt он переместится в положение 3-4 (рисунок 2.4). Отрезок времени dt принимается настолько малым, что параметры потока в каждом сечении в его начальный и конечный момент можно считать неизменными (с1n= с3n; с2n= с4n; r2=r4; r1=r3 и т.д.)

 

Рисунок 2.3 – Схема течения в канале произвольной формы

 

Рисунок 2.4 – Течение газа через произвольную элементарную струйку

Как видно из рисунка 2.4, область 3-2 является общей для начального и конечного положения рабочего тела. Поэтому рассматриваемое движение может быть представлено следующим образом: в неизменный в течении dt времени объем 3-2 втекает объем 1-3 и вытекает 2-4. Очевидно, что согласно закону сохранения массы для установившегося течения, массы втекающего и вытекающего объемов равны:

  . 2.2.1

Втекающая через границу 3 масса может быть найдена как произведение объема 1-3 на плотность рабочего тела во входном сечении . Объем равен произведению поперечной площади элементарной струйки на ее длину, которая в свою очередь зависит от скорости потока в направлении нормальном поверхности течения и времени течения :

  . 2.2.2а

Аналогично можно найти массу вытекающего рабочего тела:

  . 2.2.2б

Приравняв входящую и выходящую массы рабочего тела и поделив обе части выражения на время , можно прийти к равенству, справедливому для рассматриваемой струйки:

  2.2.3

При этом стоит отметить, что отношение массы, проходящей через рассматриваемый объем, ко времени рассмотрения – есть ни что иное как расход рабочего тела в единицу времени.

Аналогичные выражения могут быть записаны для любой другой элементарной струйки:

    …...   …...   2.2.4

Сложим эти равенства:

    2.2.5

а затем перейдем к бесконечно малым dF1, dF2.

    2.2.6

Учитывая возможный подвод/ отвод рабочего тела в контролируемом объеме через боковые поверхности, которым ранее пренебрегали, окончательно можно получить следующее выражение:

  2.2.7

где – расход подводимого рабочего тела между контрольными сечениями;

– утечки из контрольного объема;

Проинтегрировав, окончательно имеем:

  . 2.2.8а

В лопаточных машинах величины утечек и втеканий, как правило, значительно меньше расхода рабочего тела и ими обычно пренебрегают. Уравнение неразрывности при этом имеет вид:

  . 2.2.8б

Это уравнение является классической формой записи уравнения неразрывности. Оно справедливо для всех случаев установившегося течения жидкостей и газов.

Уравнение неразрывности устанавливает связь между параметрами состояния рабочего тела, скоростью и размерами канала.

Однако оно не позволяет установить связь параметров потока с величиной подводимой (или отводимой) работы, в этом его ограниченность. Это делается с помощью уравнений энергии, которые будут рассмотрены в разделе 2.2.

Из уравнения 2.2.8 следует, что расход жидкости или газа в любом сечении определяется плотностью рабочего тела, площадью сечения, через которую происходит рабочее тело и составляющей скорости потока нормальной к поперечному сечению потока. Здесь следует особенно подчеркнуть, что во всех формах записи уравнения неразрывности фигурирует именно проекция скорости нормальная к поверхности течения. Если говорить о лопаточных машинах, то для радиального течения на выходе из ЦБК или входе центростремительной турбины расход определяется радиальной составляющей. Для осевых лопаточных машин, а также осевых участков радиальных турбомашин расход рабочего тела определяется осевой составляющей скорости.

  Рисунок 2.5 – Одномерная расчетная модель ступени осевого компрессора с нормальными скоростями  
Пример 1: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для одномерной модели течения газа в ступени осевого компрессора. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.

Схема одномерной модели течения газа в ступени осевого компрессора показана на рисунке 2.5. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «3» (см. раздел 1.7.3). Как отмечалось ранее, расход определяется составляющей скорости, нормальной к поверхностям течения (в рассматриваемом случае сечения 1 и 3). К ним нормальны осевые проекции скорости потока . Учитывая это, для данного примера уравнение неразрывности будет иметь вид.

.

Пример 2: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для выходного сечения двухмерной модели течения газа в ступени осевой турбины. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.

Схема двухмерной модели течения газа в ступени осевой турбины показана на рисунке 2.6 Сечение на ее входе имеет индекс «0», на выходе «2» (см. раздел 1.7.3). Нормальными к поперечному сечению являются, как и в предыдущем примере, осевые составляющие скорости . Поэтому уравнение неразрывности в классическом виде для выходного сечения этой схемы будет иметь вид:

.

  Рисунок 2.7 – Одномерная модель РК ЦБК с характерными скоростями  
Пример 3: Запишите уравнение неразрывности в классическом виде для одномерной модели течения газа в РК ЦБК. Утечками и втеканиями в проточную часть пренебречь.

  Рисунок 2.6 – Двухмерная расчетная модель ступени осевой турбины с характерными скоростями  
Схема одномерной модели течения газа в РК ЦБК показана на рисунке 2.7. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «2» (см. раздел 1.7.3). На входе в РК нормальным к поперечному сечению будет осевое направление, а на выходе - радиальное. Поэтому уравнение неразрывности в классическом виде для этой схемы будет иметь вид:

.

Применим уравнение 2.2.8б к течению газа в турбомашинах. Для этого следует переписать его в несколько ином виде:

    2.2.9

  Рисунок 2.7 – Одномерная модель РК ЦБК с характерными скоростями  
В компрессоре происходит сжатие газа, которое сопровождается ростом его давления и плотности ; . Для упрощения дальнейшего вывода примем, что нормальные скорости на входе и выходе из компрессора равны . Это допущение является вполне правомочным, поскольку достаточно часто лопаточные машины проектируются именно в таком предположении. В любом случае, влияние изменения нормальной скорости на расход значительно меньше, чем влияние плотности.

Учитывая неизменность скорости и рост плотности, на основании анализа уравнения 2.2.9 можно прийти к выводу, что для компрессора справедливо соотношение:

 

  Рисунок 2.8 – Схема проточной части осевого компрессора  
То есть, площадь проходного сечения на входе в компрессор больше площади выходного сечения. Данное обстоятельство обуславливает сужающуюся к выходу форму меридионального сечения проточной части компрессора и уменьшение высоты лопатки (рисунок 2.8). Здесь особо следует подчеркнуть, что именно уменьшение высоты лопатки является следствием повышения давления в компрессоре (т.е. его нормального функционирования), а не причиной, вопреки часто встречающемуся заблуждению.

Аналогично уравнение 2.2.9 можно применить к течению газа в турбине с теми же допущениями . В турбине происходит процесс расширения газа, сопровождающийся снижением давления и плотности рабочего тела ; . Неизменность скорости и снижение плотности газа приводят к тому, что для турбины справедливо неравенство:

  Рисунок 2.9 – Схема проточной части осевой турбины  

То есть, площадь проходного сечения на входе в турбину меньше площади выходного сечения. Данное обстоятельство обуславливает расширяющуюся к выходу форму меридионального сечения проточной части турбины и рост высоты лопатки (рисунок 2.9). Здесь также следует подчеркнуть, что увеличение высоты лопатки является именно следствием расширения газа в турбине, а не причиной.

При расчете и проектировании элементов ГТУ как авиационного, так и наземного назначения полученной ранее формулой 2.2.8 пользоваться не удобно по той причине, что в большинстве случаев известны не статические параметры потока, входящие в уравнение, а заторможенные.

Плотность рабочего тела может быть найдена с помощью плотности заторможенного потока с помощью ГДФ :

    2.2.10

где

    2.2.11

Подставляя найденное выражение в уравнение 2.2.8б получим:

    2.2.12

Правая часть выражения умножается и делится на и на :

  2.2.13

Учитывая, что отношение физической скорости к критической – приведенная скорость , а , то предыдущее выражение запишется в следующем виде:

    2.2.14

 

 

Таким образом, окончательно можно записать:

    2.2.15

где – константа, зависящая только от свойств рабочего тела. Для воздуха ее значение равно , а для продуктов сгорания керосина . Это уравнение неразрывности, записанное через параметры торможения.

  Рисунок 2.10 – Двухмерная расчетная модель лопаточного диффузора ЦБК с характерными скоростями  
Это уравнение часто используется в практике проектирования и анализа рабочего процесса ГТУ и ее узлов (в частности турбомашин) в тех случаях, когда необходимо найти расход воздуха или площадь проходного сечения. Для иллюстрации применения полученного уравнения ниже разбираются несколько примеров.

Пример 4: Запишите уравнение неразрывности в параметрах торможения для выходного сечения двухмерной модели течения газа в лопаточном диффузоре ЦБК.

Схема двухмерной модели течения газа в лопаточном диффузоре ЦБК показана на рисунке 2.10. Сечение на ее входе имеет индекс «3», на выходе «4». Нормальным направлением к площади поперечного сечения, как на входе, так и выходе является радиальное. Поэтому уравнение неразрывности в параметрах торможения для выходного сечения лопаточного диффузора ЦБК будет иметь вид:

 

Пример 5: Запишите уравнение неразрывности в параметрах торможения для входного сечения одномерной модели ступени осевой турбины.

Схема одномерной модели течения газа в осевой турбине показана на рисунке 2.9. Сечение на ее входе имеет индекс «1», на выходе «2». Нормальным направлением к поверхности входного сечения будет осевое направление. Поэтому уравнение неразрывности в параметрах торможения для этой схемы будет иметь вид:

 

Пример 6: Для компрессора известны: скорость потока на входе ; периферийный и втулочный диаметры проточной части и , а также параметры рабочего тела на входе . Нужно определить расход воздуха через компрессор G, если известно, что вектор скорости имеет осевое направление.

Расход воздуха через компрессор в данной задаче может быть найден двумя способами: с помощью уравнения неразрывности в классическом виде и в параметрах торможения.

В первом случае расход находится по формуле:

 

Площадь сечения находится по формуле площади кольца.

 

Плотность рабочего тела находится по уравнению состояния идеального газа:

 

где - универсальная газовая постоянная для воздуха.

Поскольку направление потока осевое, то .

Подставляя все в одну формулу в итоге получим:

 

Эта же задача может быть решена с помощью формулы:

 

Для того чтобы ей воспользоваться необходимо вычислить число Маха:

 

С помощью числа Маха по таблицам ГДФ определяются функции ; и . С их помощью находятся полные давления и температура в рассматриваемом сечении:

 

 

Поскольку направление потока осевое, то и .

Тогда

 

Как видно оба способа показывают одинаковые результаты с небольшой погрешностью вызванной округлением и точностью использования ГДФ.

Пример 7: Определите высоту лопатки на входе в турбину , если известны параметры потока в рассматриваемом сечении , средний диаметр и расход рабочего тела Скорость потока в рассматриваемом сечении равна и направлена под углом к фронту решетки. Рабочее тело – продукты сгорания керосина (k=1,33; R=288Дж/кг×К)

Высота лопатки с помощью известного среднего диаметра может быть вычислена через площадь поперечного сечения:

 

Площадь находится с помощью уравнения неразрывности в параметрах торможения (уравнение 2.2.15):

 

В этой формуле известны все составляющие кроме функции Она ищется с помощью таблиц ГДФ по величине :

 

Этой величине соответствует

Окончательно имеем:

 

В заключение следует отметить, что в задачах вычислительной газовой динамики уравнение неразрывности применяется в дифференциальном виде:

    2.2.16

Вывод этого уравнения приведен в [9].


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Базовые уравнения теории лопаточных машин и общие закономерности их рабочего процесса

В данном разделе будут подробно рассмотрены основные уравнения ле жащие в основе теории лопаточных машин Рассматриваемые уравнения пред ставляют.. Для упрощения получаемых соотношений при выводе уравнений будет по лагаться.. Сделанные допущения позволят упростить получение и анализ рассматри ваемых уравнений Однако это принципиально не..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение неразрывности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Параметры торможения
Параметры состояния неподвижного газа, как известно, включают в себя давление p, температуру T и плотность r. Эти параметры называют истинными или термодинамическими. Ин

Безразмерные скорости в теории турбомашин
В теории турбомашин не удобно пользоваться физической скоростью. Это связано с тем, что на практике важнее знать не саму величину скорости, а то как она соотносится со скоростью звука. Дело в том,

Газодинамические функции
Газодинамические функции представляют собой безразмерные функции приведенной скорости l или числа Маха М, равные отношениям важнейших параметров, характеризующих одномерный поток в ра

Уравнение энергии в механической форме в абсолютном движении
Рассмотрим установившееся стационарное течение рабочего тела через произвольную лопаточную машину. В потоке вблизи поверхности пера лопатки выделим произвольную бесконечно малую частицу, движущуюся

Уравнение энергии в механической форме в относительном движении
Рассмотрим установившееся стационарное течение рабочего тела через рабочее колесо произвольной лопаточной машины. Рабочее колесо вращается с постоянной угловой скоростью w. В потоке вблизи поверхно

Уравнение энергии в тепловой форме в абсолютном движении
Запишем уравнение сохранение энергии в механической форме в абсолютном движении в дифференциальном виде (2.3.6). При этом учтем, что плотность обратно пропорциональна удельному объему :

Уравнение энергии в тепловой форме в относительном движении
Запишем уравнение сохранение энергии в механической форме в относительном движении в дифференциальном виде (2.3.18). При этом учтем, что плотность обратно пропорциональна удельному объему :

Уравнение количества движения
В процессе проектирования ЛМ часто возникает необходимость определения усилий, действующих со стороны потока на лопатки (или наоборот). Для решения таких задач можно использовать известный из теоре

Уравнение моментов количества движения
Из теоретической механики известно, что равнодействующая всех сил R, действующих на тело массой mT и скоростью сT, отстоящее от оси враще

Влияние частоты вращения на работу ступени
Влияние частоты вращения n на работу ступени турбомашины наиболее наглядно иллюстрируется на примере наземных ГТУ НК-36 и НК-37 разработанных в ОАО СНТК им. Н.Д.Кузнецова. Обе

Понятие о треугольниках скоростей
Влияние разности на работу ступени и способы ее увеличения целесообразно рассматривать, опираясь на треугольники и план скоростей. Поэтому вначале разберемся, что это такое.  

Влияние разности на работу ступени
Величина разности проекций абсолютных скоростей определяется углом поворота потока в решетке ЛВ и может быть легко показана на плане скоростей. На рисунке 2.36, а приведен план скоростей компрессор

Основные закономерности течения газа в межлопаточных каналах и механизмы возникновения потерь
Как отмечалось ранее, часть энергии подводимой/отводимой в турбомашине расходуется на преодоление гидравлических потерь в проточной части. Рассмотрим, куда и почему расходуется энергия при прохожде

Потери трения и концевые потери
При течении вязкого газа в межлопаточном канале на поверхности лопатки и на концевых поверхностях образуется пограничный слой. Это тонкий слой газа, непосредственно соприкасающийся с поверхн

Кромочные потери
За выходными кромками лопаток конечной толщины образуется разрежение (донный эффект). В эту зону разрежения стекают пограничные слои и подсасываются частички из ядра потока (рисунок 2.43). За решет

Потери связанные с отрывом потока
Качественно спроектированный венец обтекается потоком таким образом, что линии тока на расчетном режиме повторяют форму профиля. Однако часто поток отрывается от поверхности. Обычно это происходит

Волновые потери
Скорость газа в решетке турбомашин может достигать и даже превышать скорость звука. В компрессорах сверхзвуковая скорость наблюдается на входе в решетку. В турбинах – в косом срезе. Торможение свер

Вторичные потери
Важное влияние на общий уровень потерь в решетке турбомашины оказывают явления, происходящие вблизи втулочной и периферийной концевых поверхностей. Течение в этих областях носит сложный характер. И

Потери в радиальном зазоре
В проточной части турбомашин между торцами рабочих лопаток и корпусными деталями всегда имеется конструктивный зазор . Этот зазор необходим для того, чтобы исключить касание ротора о статор при вра

Потери в осевом зазоре
Влияние осевого зазора связано с образованием закромочных следов за лопатками, а также наличием градиента давлений между спинкой и корытцем. Эти факторы приводят к тому, что поле скоростей за решет

Дисковые потери
Диск рабочего колеса со всех сторон окружен рабочим телом. Поэтому при вращении диска на его поверхности образуется пограничны й слой, силы вязкого трения в котором оказывают тормозящее действие.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги