Уравнение энергии в механической форме в абсолютном движении

Рассмотрим установившееся стационарное течение рабочего тела через произвольную лопаточную машину. В потоке вблизи поверхности пера лопатки выделим произвольную бесконечно малую частицу, движущуюся с абсолютной скоростью по некой пространственной траектории S. Вектор скорости направлен по касательной к линии тока в рассматриваемой точке (рисунок 2.11).

 

Рисунок 2.11 – Рассматриваемая частица рабочего тела

В рассматриваемой точке введем локальную систему координат osnl. Ее ось os направлена по касательной к линии тока, ось on направлена по нормали к линии тока, а ось ol перпендикулярна первым двум.

Вокруг рассматриваемой точки выделим бесконечно малый объем, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, ориентированный вдоль осей локальной СК, со сторонами размерами ds, dn, dl и центром в начале координат (рисунок 2.12). Массу выделенного объема можно определить по формуле:

2.3.1

На выделенный объем действуют следующие силы:

– сила давления;

– сила, с которой лопатка действует на заданный объем;

– сила трения, направленная по касательной к линии тока.

Весом частицы пренебрегаем, вследствие его малости по сравнению с другими членами уравнения.

 

Рисунок 2.11 – Схема сил, действующих на выделенный объем

Согласно второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на выделенный объем равна произведению его массы на ускорение движения:

2.3.2

Спроецировав уравнение 2.3.2 на ось os локальной СК получим:

2.3.3

Раскрывая скобки в левой части, поделим обе части уравнения на и умножив их на , с учетом 2.3.1, придем к следующему выражению:

2.3.4

Учитывая, что произведение силы на перемещение дают работу, то слагаемые уравнения 2.3.4 имеют следующий физический смысл:

- удельная (т.е. приходящаяся на 1 кг рабочего тела) механическая работа, подведенная к частице рабочего тела лопатками;

- удельная работа, затраченная на преодоление сил трения.

– работа по изменению давления (т.е. работа по расширению или сжатию рабочего тела);

- изменение кинетической энергии потока.

Учитывая это, уравнение 2.3.4 примет вид:

2.3.5

Интегрируя последнее уравнение на конечном участке пути частицы от входа «1» до выхода из ЛВ «2» окончательно получаем:

2.3.6

Это уравнение называется уравнением сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении. Также оно известно как уравнение Бернулли.

Нетрудно видеть, что уравнение энергии в механической форме универсально: оно пригодно для описания как одномерных, так и двухмерных моделей рабочего процесса ЛМ. При этом под величинами p_i, T_i, c_i, r_i понимаются их некоторые средние значения, соответствующие рассматриваемой модели ЛМ. В силу универсальности уравнение 2.3.6 могут быть применены также и к отдельно взятым лопаточным венцам

Следствие №1: Запишем уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении применительно компрессору. Как известно для функционирования компрессора к нему подводится механическая энергия извне. По принятым в термодинамике правилам, подводимая в процессе работа считается положительной, а отбираемая – отрицательной. В результате внешний вид уравнения Бернулли для компрессора не будет отличаться от канонического вида:

2.3.7к

Анализируя уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении записанное для компрессора (уравнение 2.3.7к) можно заключить, что работа, подводимая в компрессоре, расходуется на повышение давления, изме­нение кинети­ческой энергии потока и преодоление гидрав­лических по­терь. Поскольку основная задача компрессора – сжатие рабочего тела, то второй и третий члены правой части уравнения должны быть мини­мальны. Отсюда также следует, что для того, чтобы подводимая работа макси­мально расходовалась для повы­шения давления, потери энергии в компрессоре должны быть минимальны, а кинетическая энергия не должна меняться значительно.

Следствие №2: Запишем уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении применительно к турбине. Она сама производит механическую энергию, которую затем передает потребителю. Т.е. знак перед величиной работы изменится на отрицательный. Учитывая это, а также то, что в турбине происходит расширение газа , получим:

2.3.7т

Анализируя уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении записанное для турбины (уравнение 2.3.7к) можно заключить, что энергия, получаемая в результате расширения газа в турбине, расходуется на получение механической работы, изме­нение кинети­ческой энергии потока и преодоление гидрав­лических по­терь.

Основное назначение турбины – получение механической работы . Поэтому, для получения максимальной работы потери энергии в компрессоре должны быть минимальны, а кинетическая энергия не должна меняться значительно.

Следствие №3: Полное давление газа может быть найдено по известной формуле:

2.3.8

Учитывая его, уравнение энергии в механической форме в абсолютном движении может быть записано в следующем виде:

2.3.9

В лопаточных машинах подводимая/отводимая в рабочем процессе работа на несколько порядков превосходит энергию, затрачиваемую на преодоление потерь . Отсюда можно сделать вывод, что величина полного давления в потоке жидкости или газа меняется только в случае наличия подвода или отвода энергии.

В действительности, даже при отсутствии видимого энергообмена, полное давление несколько снижается (обычно не более, чем на 5%) из-за наличия гидравлических потерь.

Данное обстоятельство используется для оценки газодинамического совершенства неподвижных элементов ГТД (НА, СА, опоры, сопла, входные устройства) с помощью коэффициента восстановления полного давления, который представляет собой отношение полного давления на выходе из канала к полному давлению на входе :

2.3.10

Его величина меняется в интервале от 0 до 1. Величина 1 соответствует случаю идеального течения без потерь.

Следствие №4: Если уравнение Бернулли записать в самом простом случае, для несжимаемого идеального рабочего тела, движущегося без потерь и энергооб­мена, то оно будет иметь следующий вид:

2.3.11

Из этого уравнения следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии энергоизолированного потока жидкости или газа остается не­изменной. Изменение условий течения в таком потоке приводит к перераспределению указанных составляющих энергий при сохранении общего баланса. Отсюда следует, что в потоке жидкости или газа, к которому не подводится ни тепло, не работа увеличение скоро­сти потока с вызывает падение статического давления р и наоборот. Данное следствие лежит в основе получения подъемной силой крыловидного профиля.

Крыло самолета имеет несимметричный профиль (верхняя часть крыла более выпуклая). Скорость потока по верхней кромке крыла вследствие местного поджатия струек будет выше, чем над нижней. Из-за этого, согласно уравнению Бернулли, давление под крылом должно быть меньше, чем над ним. В результате возникновения разности давления появляется результирующая сила, направлена в сторону выпуклой части.

 

Рисунок 2.13 – К объяснению возникновения подъемной силы крыла

Аналогичным образом возникает сила, действующая на турбинный профиль и в конечном итоге заставляющий турбину вращаться.

Примечания: Визуальным признаком подвода/ отвода работы является наличие физического движения элементов термодинамической системы. Например, в подвижном РК механическая работа совершается либо газом, либо над газом, а в неподвижном НА – механическая работа не совершается.

Визуальным признаком наличия теплообмена является присутствие в рассматриваемой термодинамической системе нагревающего (камера сгорания) или охлаждающего (теплообменник) элементов. В неохлаждаемых лопаточных машинах теплообменом обычно пренебрегают. Вследствие быстроты протекающих процессов он не успевает происходить. В охлаждаемых турбинах поток рабочего тела разбавляется втекающим в него охладителем, что необходимо учитывать.