Алгоритм Бухштаба - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии
Данный Алгоритм Приведен Из Книги Бухштаба А.а. "теория ...
Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2 простых сомножителя. Зададим ряд чисел Ns (s - нуль и натуральное число), где на каждом шаге к Ns прибавляются числа в порядке
возрастания: для вычисления Ns к Ns−1 прибавляется число (2s-1).
Тогда итеративно вычислим элементы Ns по формуле Ns=Ns-1+2s-1:
N0=n
N1=N0+1
N2=N1+3
N3=N2+5
……
Ns=Ns-1+2s-1
……
Прибавляемые к Ns числа являются членами арифметической прогрессии:
- начальный элемент равен a0=1,
- последний - as=2s-1,
- число членов - m=s
- шаг прогрессии равен 2.
Тогда сумма чисел прибавленных к n равна (по формуле суммы арифметической прогрессии) Sпрогрес= (a1 +as )m/2=(1+2s-1)s/2=2s2/2= s2.
В результате элемент Ns равен Ns = N0 + Sпрогрес = n + Sпрогрес= n + s2.
Предположим, что из Ns извлекается нацело квадратный корень, то есть Ns = t2, где t - некоторое натуральное число, тогда Ns = t2= n + s2 Þ n = Ns − s2 = t2 − s2.
Таким образом, если при некотором s будет возможно извлечение нацело квадратного корня из Ns = t2, то исходное число n раскладывается как
n=(t2−s2)=(t−s)(t+s).
ù=n -9 é 2 2
Если в диапазоне для s: 1≤s≤ úû 6
ëêне будет найдено t , где из t
нацело извлекается квадратный корень, то процесс поиска двух сомножителей числа n завершается - число n является простым или алгоритм не применим для него.
Описание алгоритма.
На вход подается натуральное число n.
На выходе: 2 сомножителя числа n или ответ о неприменимости алгоритма для числа n.
1. Ввод числа n. Если n<9, то задача данным алгоритмом не решается. Выход.
2. N=n.
ùn -9 é
3. Для "s =1, úû
6 êë
выполнить:
3.а. N=N+2s-1.
3.б. t =] N [ .
3.в. Если t2=N, то
вывод чисел (t-s) и (t+s); Выход из алгоритма.
4. Разложить число n не удалось. Выход из алгоритма.
Пример 1.4. Пусть n = 69.
Таблица 1.4. Трассировочная таблица
Шаг, s
ù=n -9 é
Условие:s £úû 6 êë?
N = N+2s-1
t =] N [
Условие: t =N?
да: 1≤10
нет: 64≠70
да: 2≤10
нет: 64≠73
да: 3≤10
нет: 64≠78
да: 4≤10
нет: 81≠85
да: 5≤10
нет: 81≠94
да: 6≤10
нет: 100≠105
да: 7≤10
нет: 100≠118
да: 8≤10
нет: 121≠133
да: 9≤10
нет: 144≠150
да: 10≤10
да: 169=169
ù=n -9 é
N0=n=69; максимальное число шагов:
s £úû 6
êë=10 . Шаги работы
алгоритма представим в виде трассировочной табл. 1.4.
Из числа N10= 169 можно извлечь квадратный корень: t2=13. Тогда
В М Захаров... Материалы лекций... Математические основы криптологии...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Алгоритм Бухштаба
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной
криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя
(НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное
Получение простых чисел.
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как с
Проверка простоты чисел Мерсенна
Числами Мерсенна называются числа вида М(p) = 2p - 1, pÎN.
Задача для чисел Мерсенна - поиск в ряду э
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который
Функция Эйлера
Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым.
Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:
Мультипликативная функция
Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо
Числовая функция
Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа
[a] – обозначение
может быть как положительное, так и отрицательное число
Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.
Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциатив
Свойства операций сравнения
В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.
Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав
Кольца и поля
Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.
Определение 1.7. Множество S называется кольцом, е
Характеристика поля
Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.
Вычисление обратных элементов
В арифметике действительных чисел просто вычислить обратную величину a−1 для ненулевого a:
a-1 = 1/a или a? a-1 = 1.
Расширение полей
Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).
Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на
Pound; b£ n-1
Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:
(1) bn-1≡ 1(mod n),
Числа Кармайкла
Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».
Заметим
Процедура получения устойчивых простых чисел
1. Генерируются простые числа s,t
2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t
На основе этих двух операций получаем про
Алгоритм асимметричного шифрования RSA
Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и
Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов