Функция Эйлера - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии
Имеется Целое, Положительное Число M. Оно Может Быть Как Сост...
Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым.
Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:
Назначение функции:
Допустим, мы имеем число m – натуральное. Рассмотрим на оси все числа.
1,2,3,4…. m-1 m
Вопрос:
Сколько чисел в диапазоне от 1 до m-1 (m) , являются взаимно простыми? (имеют с m НОД=1)
(a,m)=1 – должны быть взаимно простыми. (должны быть взаимно простыми с m)
Если m=p, то взаимно простых будет p-1. Т.к. если число m-простое, то все числа являются для него взаимно простыми, исключая само число m.
Ну а если число m составное?
Эйлер установил такую закономерность, что существует определенная формула, по которой можно вычислить число взаимно простых. (самый простой способ это перебор).
Эта формула определяется на основе разложения числа m.
- раскладываем на простые сомножители.
Теперь надо использовать только различающиеся сомножители. Пример:
60 2
30 2
15 3
5 5
m= 60 = 2*2*3*5; в каноническом виде - 22*3*5 : p1=2; p2=3; p3=5; Содержательно, Функция Эйлера устанавливает число взаимно простых чисел с заданным числом m.
Если все сомножители разные, то это одна формула вычисления функцииЭйлера, а если каноническая, то формулу можно выразить ее через показатели.
Эти две формулы мы и рассмотрим.
Пусть разложение число m такое, что все сомножители разные.
I) Участвует само число m, затем следует рекуррентное выражение:
В нашем случае:
;
Значит, от 1 до 60 находятся 16 взаимно простых чисел с числом 60. II)
В нашем случае:
Отметим приложение функцииЭйлера в криптографии.
В криптографии часто надо вычислять, шифровать по некоторому модулю. Модуль может быть как составным так и простым. Когда модуль составное число, тогда и используется функция Эйлера для однозначного шифрования. Там осуществляется ,преобразование с множеством чисел, которые являются взаимно простыми в заданном модулем диапазоне.
Классическое (наиважнейшее) приложение этой функции такое:
Заданно некоторое натуральное число aи заданно некоторое число m, пусть m-составное, натуральное, положительное. Если эти два числа взаимно просты, тогда для этой пары чисел справедлива следующая теорема (теорема Эйлера) :
В М Захаров... Материалы лекций... Математические основы криптологии...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Функция Эйлера
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной
криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя
(НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное
Получение простых чисел.
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как с
Проверка простоты чисел Мерсенна
Числами Мерсенна называются числа вида М(p) = 2p - 1, pÎN.
Задача для чисел Мерсенна - поиск в ряду э
Алгоритм Бухштаба
Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который
Мультипликативная функция
Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо
Числовая функция
Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа
[a] – обозначение
может быть как положительное, так и отрицательное число
Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.
Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциатив
Свойства операций сравнения
В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.
Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав
Кольца и поля
Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.
Определение 1.7. Множество S называется кольцом, е
Характеристика поля
Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.
Вычисление обратных элементов
В арифметике действительных чисел просто вычислить обратную величину a−1 для ненулевого a:
a-1 = 1/a или a? a-1 = 1.
Расширение полей
Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).
Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на
Pound; b£ n-1
Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:
(1) bn-1≡ 1(mod n),
Числа Кармайкла
Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».
Заметим
Процедура получения устойчивых простых чисел
1. Генерируются простые числа s,t
2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t
На основе этих двух операций получаем про
Алгоритм асимметричного шифрования RSA
Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и
Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов