Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии
Понятие «Модулярная Арифметика» Ввел Немецкий...
Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.
Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.
Под операцией a mod m понимается операция взятия целочисленного остатка от деления числа a на число m, где a и m - целые числа.
Запись в модульной арифметике
a ≡ b mod m
читается как "a сравнимо с b по модулю m". С помощью знака равенства эту операцию можно записать как
a = b + k·m,
где a, b, m - целые числа, m ≠ 0, k - некоторое целое число.
Отсюда следует, что m делит (a - b) нацело:
m | (a - b) или (a - b) mod m = 0.
Число b называют вычетом числа a по модулю m.
Операция a mod m называется приведением числа a по модулю m или
приведением по модулю.
Пример 1.7. Вычислить (3+14) mod 12.
Получим (3+14) mod 12 = 17 mod 12 ≡ 5 или 17 ≡ 5 mod 12. То есть число 5 является вычетом числа 17 по модулю 12.
Ряд целых чисел от 0 до (m - 1) называется полным набором вычетов по модулю m. Для любого целого a (a > 0) его вычет r по модулю m
принадлежит интервалу системы
r = 0, m - 1. Число r можно найти перебором из
ìr =a -k ×m
ï
í k ÎZ ,
ï
перебирая все значения k.
îr =0, m -1
Например, для m = 13 полный набор вычетов равен
0, 12 . Но можно
11
использовать вычеты и в диапазоне целых чисел
r =-2 (m -1), 2 (m -1) .
Если приводимое число является отрицательным, то выполняется его сложение с модулем m. Например, -5 mod 7 = (-5 + 7) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Достоинствами вычислений по модулю является следующее:
- ограничивается диапазон промежуточных величин и результата;
- не требуется хранить большие промежуточные результаты.
В М Захаров... Материалы лекций... Математические основы криптологии...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной
криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя
(НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное
Получение простых чисел.
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как с
Проверка простоты чисел Мерсенна
Числами Мерсенна называются числа вида М(p) = 2p - 1, pÎN.
Задача для чисел Мерсенна - поиск в ряду э
Алгоритм Бухштаба
Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который
Функция Эйлера
Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым.
Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:
Мультипликативная функция
Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо
Числовая функция
Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа
[a] – обозначение
может быть как положительное, так и отрицательное число
Свойства операций сравнения
В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.
Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав
Кольца и поля
Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.
Определение 1.7. Множество S называется кольцом, е
Характеристика поля
Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.
Вычисление обратных элементов
В арифметике действительных чисел просто вычислить обратную величину a−1 для ненулевого a:
a-1 = 1/a или a? a-1 = 1.
Расширение полей
Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).
Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на
Pound; b£ n-1
Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:
(1) bn-1≡ 1(mod n),
Числа Кармайкла
Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».
Заметим
Процедура получения устойчивых простых чисел
1. Генерируются простые числа s,t
2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t
На основе этих двух операций получаем про
Алгоритм асимметричного шифрования RSA
Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и
Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов